多胞体

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この項目では、4次元の多胞体 (polychoron)について記述しています。一般次元の多胞体 (polytope)については「ポリトープ」をご覧ください。

多胞体（たほうたい）とは、一般次元のユークリッド空間における立体の一種である。特に4次元空間内における3次元の広がりを持った立体を指す場合が多く、ここではその場合について述べる。英語では、これを polychoron と呼び、一般次元のものは polytope と呼ばれる。一般の場合はポリトープを参照のこと。

線や面の数が最小の図形は、2次元では三角形、3次元では、四面体である。このことから4次元では、立体の数が最小の多胞体は、5つの四面体により構成されているものであることが予測でき、実際その通りである。これを五胞体という。

[編集] 多胞体の種類

[編集] 正多胞体

四次元における正多胞体とは、3次元空間でいう正多面体に相当する多胞体のことである。定義も正多面体と似ており概要は、

全ての胞が一種類の正多面体でできている。
一つの頂点に集まる正多面体の数が同じである（頂点は合同である）。

である。正多面体をあらわす記号であるシュレーフリの記号を四次元では、構成面の形を p、構成胞の1つの頂点に集まる面の数を q、1つの辺に集まる胞の数を rとして{p, q, r} とあらわす。

4次元の正多胞体は、6種類存在する。

名前	シュレーフリ記号	相当する正多面体
正五胞体	{3,3,3}	正四面体
正八胞体（超立方体）	{4,3,3}	正六面体
正十六胞体	{3,3,4}	正八面体
正二十四胞体	{3,4,3}	なし
正百二十胞体	{5,3,3}	正十二面体
正六百胞体	{3,3,5}	正二十面体

双対関係は、

正八胞体⇔正十六胞体
正百二十胞体⇔正六百胞体

で、正五胞体と正二十四胞体はそれぞれ自己双対である。

[編集] 半正多胞体

四次元における半正多胞体とは、3次元でいう半正多面体に相当する多胞体のことである。その定義は

全ての胞が数種類の正多面体、または半正多面体でできている。
全ての頂点が合同である。

4次元の場合、半正多胞体は全部で58種類ある（ただし三次元の場合と同様に角柱などの無限系列は除く）。その中には、正多胞体の頂点や辺、面を削ったものなどがある。四次元にも3次元におけるミラーの立体のような例外的な立体が存在する。4次元では捩れ二十四胞体と大反角柱の2種類である。3次元では一般的と考えられる、捩れ操作による半正多胞体は高次元では一般的ではないのである。ただしこれらの立体は半正多面体に加えられることのほうが多い。

[編集] 星型正多胞体

星型正多胞体とは、3次元空間でいう星型正多面体に相当する多胞体のことである。シュレーフリ･ヘスの多胞体とも言う。4次元の星型正多胞体は、10種類存在する。

名前	シュレーフリ記号
Icosahedral 120-cell	{3,5,5/2}
Great 120-cell	{5,5/2,5}
Grand 120-cell	{5,3,5/2}
Small stellated 120-cell	{5/2,5,3}
Great grand 120-cell	{5,5/2,3}
Great stellated 120-cell	{5/2,3,5}
Grand stellated 120-cell	{5/2,5,5/2}
Great icosahedral 120-cell	{3,5/2,5}
Grand 600-cell	{3,3,5/2}
Great grand stellated 120-cell	{5/2,3,3}

広く定着している日本語名は現在のところない。

3次元の星型正多面体は4種類、4次元の星型正多胞体は10種類あるが、5次元以上の空間には星型正多胞体は存在しない。

[編集] 一様多胞体

一様多胞体とは、3次元でいう一様多面体に相当する多胞体のことである。4次元の一様多胞体は現在、1849種類が確認されている。

[編集] 準正多胞体

準正多胞体とは、3次元でいう準正多面体に相当する多胞体のことであり、一様多胞体のうち、辺の形状が合同な立体のことである。4次元の準正多胞体は、凸なものは5種類ある。

[編集] 角柱・反角柱

3次元図形を4次元方向に並行移動すれば、そのまま角柱の4次元版が得られる。また4次元以上に現れる図形として双角柱 (duoprism) がある。これは2種類の角柱が4次元空間で絡まりあったような形状をしており、n角柱m個とm角柱n個からなる双角柱を(n - m)角柱と呼ぶ。

[編集] シュレーフリの公式

全ての4次元多胞体に対して、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって発見された公式

頂点の数 - 辺の数 + 面の数 - 立体の数 = 0

が有効である。もっと一般に、n次元の図形（単体的複体）のm次元の辺の数を a_m とするとき交代和

$\sum_{m=0}^{n-1} (-1)^m a_m = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \cdots$

をその図形のオイラー標数と呼び、この公式をシュレーフリのn次元公式という。

奇数次元の多胞体の場合はオイラー数は 2 で、偶数次元の多胞体の場合はオイラー数は 0 である。

[編集] 双対

四次元多胞体の双対とは、立体の数と頂点の数、面の数と辺の数を入れ替えたものをいう。もっと一般にn次元多胞体の双対は、(n - 1)次元多胞体の数と頂点の数、(n - 2)次元多胞体の数と辺の数、…という様に入れ替えていったものをいう。

[編集] 関連項目

多角形
多面体
ゾム：6種類すべての正多胞体の三次元投影図が作成可能な組立玩具

多胞体

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