二次体

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二次体 (にじたい、: quadratic field) は、有理数体上、2次の代数体のことである。任意の二次体は、平方因子を含まない 0, 1 以外の整数 d を用いて、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) と表現される。もし、d > 0 である場合、実二次体 (real quadratic field)、d < 0 の場合、虚二次体 (imaginary quadratic field) という。

性質[編集]

体論・環論[編集]

  • 任意の二次体は、ガロア拡大体であり、ガロア群巡回群となる。
  • ユークリッド整域である二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) は、d = -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 だけである。
  • 一意分解整域である虚二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d}) は、d = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163 だけである。
  • 任意の二次体 K に対して、有理素数[1] p は、以下のいずれかを満たす。
  1. (p) = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2 (\mathfrak{p}_1,\ \mathfrak{p}_2 は、相異なる K素イデアル)。 (このとき、p は、K完全分解であるという。)
  2. (p) = \mathfrak{p}^2 (\mathfrak{p} は、K の素イデアル)。 (このとき、p は、K不分解であるという。)
  3. (p) は、K の素イデアルである。 (このとき、p は、K不分岐であるという。)

二次体の判別式[編集]

  • 二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})判別式D としたとき、
 D = \begin{cases}d & (d\equiv 1 \mod 4),\\ 4d & (d\equiv 2, 3 \mod 4).\end{cases}

従って、d ≡ 1 (mod 4) のときは、\scriptstyle\{1,\ (1+\sqrt{D})/2 \}、それ以外のときは、\scriptstyle\{1,\ \sqrt{D}\} が、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{d})整基底となる。

二次体の単数[編集]

  • EK を、二次体 \scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d})単数群としたとき、
  1. d = − 1 のとき:EK = { ± 1, ± i } 。
  2. d = −3 のとき:EK = { ± 1, ± ω, ± ω2 }  (ω = (− 1 + √− 3)/2) 。
  3. d < 0 かつ、d ≠ − 1, − 3 のとき:EK = { ± 1 } 。
  4. d > 0 のとき:\scriptstyle E_K = \{\pm\varepsilon_0^n | n = 0,\ \pm 1,\ \pm 2,\ \ldots \}  (ε0基本単数)。
  • D を、二次体 \scriptstyle K = \mathbb{Q}(\sqrt{d}) の判別式とし、自然数 x*, y* を、
x2Dy2 = ± 4[2][3]の最小の有理整数解としたとき、(x* + y*D)/2 は、K の基本単数である。

\scriptstyle d\le 14 に対する基本単数

d 2 3 5 6 7 10 11 13 14

基本単数

1+\sqrt{2}

2+\sqrt{3}

(1+\sqrt{5})/2

5+2\sqrt{6}

8+3\sqrt{7}

3+\sqrt{10}

10+3\sqrt{11}

(3+\sqrt{13})/2

15+4\sqrt{14}

二次体と円分体[編集]

  • 任意の二次体 K に対して、ある整数 n が存在して、 \scriptstyle K\sub\mathbb{Q}(\zeta_n) 。ここで、\zeta_n は、1 の原始 n 乗根である[4]
特に、n = 2q (q ≥ 3) とすれば、円分体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\zeta_n) には、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-1}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}),\ \mathbb{Q}(\sqrt{-2}) が含まれる。

二次体と初等整数論[編集]

二次体と初等整数論との関係を述べる。

平方剰余の相互法則[編集]

\left(\frac{a}{p}\right)ルジャンドル記号とすると、次が成立する。

  • 平方因子を持たない素数 a と、2a と互いに素な素数 p に対して、
\left(\frac{a}{p}\right) = 1 \Longleftrightarrow (p) は、\scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{a}) 上で、相異なる2つの素イデアルの積で表される。

二次形式[編集]

有理整数係数の二元二次形式の類数を H(D) (D は、二次形式の判別式) とし、 二次体 \scriptstyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{D}) の(代数体としての)類数を、hK とすると、H(D) = hK である。つまり、有理整数係数の二元二次形式の類と、二次形式の判別式で作られる二次体のイデアル類とは、一対一の対応を付けることができる。

二次体の類数[編集]

ディリクレの類数公式[編集]

二次体 K の判別式を D とし、χ\scriptstyle (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times} に対するクロネッカーの指標[5]とする。K に対する ディリクレの L 関数を用いて、K類数 hK

h_K = \frac{1}{\kappa}L(1, \chi)

で与えられる。但し、κ は、

\kappa = \begin{cases} \frac{2\log\varepsilon_0}{\sqrt{D}} & (D > 0),\\ \frac{2\pi}{w\sqrt{-D}} & (D < 0),\end{cases}

で与えられる 0 でない実数である。ここで、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数、ε0 は、K基本単数とする。

さらに上式は、以下の形で有限和の形で表現することが可能である。

  • K が実二次体のとき
h_K = -\frac{1}{2\log\varepsilon_0}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)\log\sin\frac{a\pi}{d}.
  • K が虚二次体のとき
h_K = -\frac{w}{2d}\sum_{a=1}^{d-1}\chi(a)a.

但し、ε0 は、K の基本単数、d = |D|、w は、K に含まれる 1 のベキ根の数とする。

これらの式を総称してディリクレの類数公式[6]という。

類数を表す式は、他にも、デデキントのゼータ関数s = 1 での留数で表現するものも知られている。

\zeta_K(s) を、二次体 K のデデキントのゼータ関数とすると、以下の式が成立する。

\kappa h_K = \operatorname{Res}_{s=1}\zeta_K(s)

但し、κ は、上記、ディリクレの類数公式で与えられた κ である。

類数に関するガウスの予想[編集]

ガウスは、二元二次形式の研究により、二次形式の類数について、いくつかの予想を残している。今日、これらを総称して、類数に関するガウスの予想という。特に、予想4 のことをガウスの予想とすることも多い。 ここでは、ガウスが挙げた予想について、二次体での言葉に翻訳して述べる。

  1. K を虚二次体とし、DK, hKK の判別式、類数としたとき、\scriptstyle |D_K|\to\infty ならば、\scriptstyle h_K\to\infty である。
  2. 類数が 1 である実二次体は、無限に存在する。
  3. 与えられた自然数 k に対して、類数が k である虚二次体は有限個しか存在しない。
  4. 類数が 1 である虚二次体 \scriptstyle\mathbb{Q}(\sqrt{-d}) は、d が以下の場合に限る。
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163.

予想 1 について。

予想が成立することは、1934年にハイルブロン (H. Heilbronn) が証明し、ジーゲル (C. L. Siegel) により、類数の増大度について、以下の様な結果が得られた。

\lim_{|D_K|\to\infty}\frac{\log h_K}{\log\sqrt{|D_K|}} = 1

予想 2 について。

現在でも、この予想が成立するか否かは不明である。もっと一般に、類数が 1 である代数体が無限に存在するかも分かっていない。

予想 3 について。

1973年に、ザギエ (D. Zagier) とグロス (B. Gross) によって、予想が成り立つことが証明された。

予想 4 について。

この予想は、まず、ヘーグナー (K. Heegner) によって、この予想が成立することが証明されたが、彼の証明には、不備があり、その誤りが訂正されたのは1968年である。そのため、この予想を最初に証明したのは、ベイカー (A. Baker) とスターク (H. M. Stark) であるとされる。(1966年の証明)

その後、類数が 2 である虚二次体 がベイカーとスタークにより解決され、現在までに、類数が100以下の虚二次体が決定している。

注釈[編集]

  1. ^ 有理整数である素数のこと。
  2. ^ x2Dy2 = − 4 に有理整数解を持たない場合に限り、x*, y*x2Dy2 = 4 の解として選ぶ。
  3. ^ 平方因子を持たない0, 1 以外の整数 a および、c = ± 1, ± 4 に対して、x2ay2 = c の形の不定方程式ペル方程式という。
  4. ^ n として、K の判別式の絶対値とすると、このことが成立する。
  5. ^ \scriptstyle\left(\frac{\cdot}{D}\right) をクロネッカーの記号としたとき、\scriptstyle\chi(n) = \left(\frac{n}{D}\right) で与えられるディリクレ指標のことを、クロネッカーの指標という。
  6. ^ L関数を用いない式に対して、ディリクレの類数公式ということもある。

参考文献[編集]

  • 河田, 敬義 『数論 -古典数論から類体論へ-』 岩波書店、東京、1992年
  • ノイキルヒ, J. 『代数的整数論』 足立恒雄(監修)・梅垣敦紀訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、2003年
  • Watkins, M. (2004). “Class numbers of imaginary quadratic fields”. Math. Comp. 73: 907-938. 

外部リンク[編集]

関連項目[編集]