2の平方根

2の平方根は、長さ1の辺の直角三角形の斜辺の長さと等しい。

2の平方根（にのへいほうこん）は、平方して 2 になる実数である。すなわち、ある数xに対して

$x * x = 2$

が成り立つ。

2の平方根には正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

$\sqrt{2}$

と書き、「ルート2」と読む。また、負の平方根は

$-\sqrt{2}$

である。以下、正の平方根について記述する。

オンライン整数列大辞典では十進記数法の小数点以下98桁まで表示されている。

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 07324 78462 10703 88503 87534 32764 157…

この数の並びは規則性がない。すなわち、2の平方根は無理数であり、整数の比で表すことができない。これは、おそらく最初に知られた無理数であり、幾何学的には辺の長さが 1 の正方形の対角線の長さである。代数方程式 x² − 2 = 0 の解の一つであるから、代数的数である。近似値として $\tfrac{99}{70}$ (= 1.41428571…) を使うことがある。語呂合わせでは「一夜一夜に人見頃（ひとよひとよにひとみごろ）」などがある。 また、連分数で表記すると

$\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\cdots}}}}}}}$

となる。なお、白銀比は 1 + √2 で表される。

歴史

バビロニアの粘土板 YBC 7289 (紀元前2000 - 1650年ごろ）に、2の平方根の近似が六十進法で四桁の精度で与えられている。

$1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421\overline{296}$

これは十進法では六桁の近似精度である。古い時代のうちで精度の高い近似としてほかに、古代インドの数学者によるものが知られており、シュルバ・スートラ（紀元前800 - 200年ごろ）では、2の平方根が「基準の長さからその三分の一だけ増やし、さらにこの三分の一のそのまた四分の一から、この四分の一の34分の一だけ取り去ったものを加える」として与えられている。これはつまり、

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{3 \cdot4 \cdot 34} = \frac{577}{408} \approx 1.414215686$

を与えていることになる。

無理数はピタゴラス学派のメタポンタムのヒッパサスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパサスが無理数を発見したのは2の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は2の平方根の無理性の（おそらく幾何学的な）証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは（有理）数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパサスを溺死の刑に処したとされている。

無理数であることの証明

以下では、一般によく知られている背理法を用いた証明を掲載する。

√2 が有理数であると仮定すると、√2 は互いに素である（公約数を1以外に持たない）整数 m, n を用いて

$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$

と表せる。この両辺を2乗すると

$2=\frac{m^2}{n^2}$

よって

$m^2=2n^2\cdots(1)\,$

となる。nは整数であるからm² は偶数である。よって、m も偶数であることが分かる。よって m は整数 p を用いて

$m=2p\,$

と表せる。この等式の両辺を2乗すると

$m^2=4p^2\,$

となるので、(1) の式に代入すると

$4p^2=2n^2\,$

よって、両辺を2で割って

$n^2=2p^2\,$

である。これより、n² は偶数なので、n も偶数である。以上より、m, n ともに偶数であることが分かったが、これは m, n が互いに素であるという仮定に矛盾する。よって、最初の仮定が誤りだったので、√2 は無理数である。

日常生活における2の平方根

白銀長方形（縦 : 横 = 1 : √2）

「白銀比」も参照

1 : √2 = 1.414... の比率は用紙サイズ（A3 や A4 など）に採用されている（ISO 216 で標準化されている）他、建物などに使われる。一辺と他辺がこの比となる長方形は、白銀長方形、またはルート長方形と呼ばれる。

この比が用紙サイズとして用いられている理由は、用紙を長手方向に半分にしたときに元と相似の形状となるため、大きな用紙を切るだけで規格に適合した小さな用紙が得られるためである。この融通性は実用上非常に都合が良い（用紙の縦、横の長さの値は 74, 105, 148, 210, 297 など公比を √2 とする等比数列としている）。

また、日本建築におけるモジュールの 1 つとして2の平方根が用いられていると考えられる。例として法隆寺の五重塔を上から見た投影平面図における辺（短辺と長辺）の関係が挙げられる。また大工道具の指矩（さしがね）の裏面には裏目として角目と呼ばれる目盛（√2 を掛けたもの）が刻まれているものもある。この利用方法として、丸太から最大の方形角材を製材するときの寸法採りに用いられる。方法として丸太の直径を 1.414 倍目盛にて計測し、求めた値の裏面にあたる値が最大方形の 1 辺の長さとなる（直角二等辺三角形での辺長関係 = 1 : 1 : √2）。

関連項目

• 平方根
• 3の平方根
• 5の平方根

外部リンク

• 2の平方根の近似値（100万桁）2008年7月12日閲覧