2の平方根

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2 の平方根 (2) は、直角二等辺三角形斜辺隣辺の長さのとして現れる。直角二等辺三角形の斜辺の長さは、隣辺の長さの 2 倍である。

2 の平方根(にのへいほうこん、: square root of two)は、平方して 2 になる実数である。すなわち、

r^2 = r \times r = 2

を満たす実数 r のことである。この数は後述するように無理数である。 2 の平方根は、人類の歴史において極めて初期の段階で発見されており、おそらく最初に知られた無理数であると考えられている。 幾何学的には、正方形長さに対する正方形の対角線の長さのを与える。また、1 + 2白銀数と呼ばれる。

2 の平方根には正負の 2 つがある。正の平方根を

\sqrt{2}

と書き、「スクウェア・ルート 2」あるいは単に「ルート 2」と読む[注 1]。またこのとき、負の平方根は

-\sqrt{2}

と書き表すことができる[注 2]

オンライン整数列大辞典では 2十進記数法における小数点以下 98 桁まで表示されている[1]

2 = 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799 07324 78462 10703 88503 87534 32764 157…

この数の並びには無限回の循環はない。このことは、2無理数であることによる[注 3]。 上記の最初の数桁を、語呂合わせで「一夜一夜に人見頃(ひと よ ひと よ に ひと み ご ろ)」などと覚える記憶法がしばしば用いられている。

性質[編集]

2代数方程式 r2 − 2 = 0 の根の 1 つであるから、代数的数である。

2近似値として 99/70 (= 1.41428571…) を使うことがある。

2連分数展開

\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}}

となる。これはしばしば [1; 2, 2, 2,...] と表記される。連分数展開を途中で打ち切ることで、2 の近似値を計算することができる。

連分数展開による近似
計算回数 近似値 誤差 (%) 計算回数 近似値 誤差 (%)
0 1 −30 7 1.414 216 1.50×10−4
1 1.5 6.1 8 1.414 213 2 −2.58×10−5
2 1.4 −1.0 9 1.414 213 6 4.42×10−6
3 1.42 0.17 10 1.414 213 55 −7.59×10−7
4 1.413 8 −0.03 11 1.414 213 564 1.30×10−7
5 1.414 29 5.10×10−3 12 1.414 213 562 1 −2.23×10−8
6 1.414 20 −8.75×10−4 13 1.414 213 562 43 3.83×10−9

歴史[編集]

バビロニア粘土板 YBC 7289 (紀元前2000 - 1650年頃)に、2 の平方根の近似が六十進法で 4 桁の精度で与えられている。

1+\frac{24}{60} +\frac{51}{60^2} +\frac{10}{60^3} =1.41421\overline{296}

これは十進法では 6 桁の近似精度である。古い時代のうちで精度の高い近似としてほかに、古代インドの数学者によるものが知られており、シュルバ・スートラ(紀元前800 - 200年頃)では、2 の平方根が「基準の長さ (= 1) からその三分の一だけ増やし、さらにこの三分の一のそのまた四分の一から、この四分の一の三十四分の一だけ取り去ったものを加える 」として与えられている。これはつまり、

1+\frac{1}{3} +\frac{1}{3\cdot 4} -\frac{1}{3\cdot 4\cdot 34} =\frac{577}{408} \approx 1.414215686

を与えていることになる。

無理数はピタゴラス学派メタポンタムのヒッパソスによって発見されたとされている。通説では、ヒッパソスが無理数を発見したのは 2 の平方根を分数として表そうと試みていたときであり、彼は 2 の平方根の無理性の(おそらく幾何学的な)証明を与えたといわれている。ところがピタゴラスは(有理)数の絶対性を信じていたため無理数の存在を受け入れることができなかった。ピタゴラスは論理的に無理数の非存在を示すことはできなかったが、その信念から無理数の存在を受け入れることができず、ヒッパソスを溺死の刑に処したとされている。

無理数であることの証明[編集]

有理根定理を用いた方法[編集]

多項式 P(x) = x2 − 2 に対して有理根定理を適用する。 有理根定理によれば、p, q互いに素な整数として、多項式の有理根が x = p / q と表せるとき、p は定数項の約数であり、q は最高次の係数の約数である。 P(x) は最高次の係数を 1 とする多項式(モニック多項式)であるため、その有理根は整数となる。従って、P(x) の根 2 は整数か無理数でなければならない。2平方数でないため、2 は整数ではない。従って、2 は無理数である。

この証明は 2 に限らず一般化して、平方数でない自然数の平方根の無理性を示すことにも使える。

背理法[編集]

背理法無限降下法)を用いた証明を以下に示す。

2有理数であると仮定すると、2互いに素である(公約数1 以外に持たない)整数 m, n を用いて

\sqrt{2} =\frac{m}{n}

 

 

 

 

(1)

と表せる[注 4](1) の両辺を2乗すると

2=\frac{m^2}{n^2}

 

 

 

 

(2)

となる。更に (2) の両辺に n2 を掛ければ、次のようになる。

2n^2 = m^2.

 

 

 

 

(3)

(1) の仮定から n は整数であるから m2偶数であり、すなわち m は偶数である[注 5]。従って m は整数 p を用いて以下のように表すことができる。

m = 2p.

 

 

 

 

(4)

(4) の両辺を2乗すると

m^2 = 4p^2

 

 

 

 

(5)

となるので、(3) の式に代入して以下の関係を得る。

2n^2 = 4p^2.

 

 

 

 

(6)

(6) の両辺を 2 で割れば次のようになる。

n^2 = 2p^2.

 

 

 

 

(7)

(7) より n2 は偶数なので、n も偶数である[注 5]。以上より、m, n ともに偶数であることが示されたが、これは m, n が互いに素であるという仮定に矛盾する。よって、最初の仮定が誤りだったので、2 は有理数でない(無理数である)ことが示された。

素因数分解の一意性を用いた方法[編集]

素因数分解の一意性、すなわち 1 より大きな整数は素数の積として積の順番を除いて一意に表すことができることを利用する。

  1. 2 が有理数であると仮定する (2 = a/b)。有理数は 2 つの互いに素な整数 a, b分数 a/b で表すことができる(このような分数を既約分数と呼ぶ)。
  2. 2 は平方数でないため、分母 b1 ではない。
  3. a, b は互いに素なので、b を割り切り a を割り切れない素数 p が存在する。
  4. a の平方 a2 の素因数分解は a の素因数をそれぞれ二乗したものになる。
  5. 従って素因数の一意性から p2a2 を割り切れない。
  6. a2/b2 は既約分数であり整数ではない。
  7. よって 2 は有理数ではない。

この証明はある整数の k 乗でない整数の k 乗根が無理数である証明に拡張できる。

日常生活における2の平方根[編集]

白銀長方形(縦 : 横 = 1 : 2

1 : 2 (およそ 5 : 7)の比率は用紙サイズ(A3 や A4 など)に採用されている(ISO 216 で標準化されている)他、建物などに使われる。一辺と他辺がこの比となる長方形は、白銀長方形 (silver rectangle)、またはルート長方形と呼ばれる。

この比が用紙サイズとして用いられている理由は、用紙を長手方向に半分にしたときに元と相似の形状となるため、大きな用紙を切るだけで規格に適合した小さな用紙が得られるためである。この融通性は実用上非常に都合が良い(用紙の縦、横の長さの値は 74, 105, 148, 210, 297 など公比を 2 とする等比数列としている)。

また、日本建築におけるモジュールの 1 つとして 2 の平方根が用いられていると考えられる。例として法隆寺の五重塔を上から見た投影平面図における辺(短辺と長辺)の関係が挙げられる。大工道具の指矩(さしがね)の裏面には裏目として角目と呼ばれる目盛(2 を掛けたもの)が刻まれているものもある。この利用方法として、丸太から最大の方形角材を製材するときの寸法採りに用いられる。方法として丸太の直径を 1.414 倍目盛にて計測し、求めた値の裏面にあたる値が最大方形の 1 辺の長さとなる(直角二等辺三角形での辺長関係 = 1 : 1 : 2)。

脚注[編集]

参照文献[編集]

  1. ^ オンライン整数列大辞典の数列 A002193 2008年7月12日閲覧

注釈[編集]

  1. ^ 冪根平方根に限らないため、「平方(2乗)」を意味する「スクウェア」をつける方が正しいが、立方根(3乗根)などと特に区別する必要がない場合には、「スクウェア」の部分は省略されることが多い。
  2. ^ 2r2 = 2(あるいは r2 − 2 = 0)の根であることは、負の数同士の積がそれらの絶対値の積に等しいことから示される。
  3. ^ 逆に、循環小数として表現できるような数はすべて有理数である(無理数ではない)。有理数とは、整数の比によって表すことのできる数のことを言う。
  4. ^ すなわち、m/n はこれ以上約分できない分数である。
  5. ^ a b 2 つの整数の積が偶数である場合、2 つの整数の一方または両方は偶数である。従って、a2 = a × a偶数ならば a も偶数である。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]