背理法

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背理法(はいりほう、: proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など: reductio ad absurdum)とは、ある命題 Pについて、P否定 ¬P仮定すると、矛盾(ある命題とその否定が同時に証明されること)または明らかに偽であるような結論が導けることにより、 P を結論付けることである。帰謬法(きびゅうほう)とも。

P仮定すると、矛盾が導けることにより、 ¬Pを結論付けることは否定の導入などと呼ばれる(これに対して(狭義の)背理法を否定の除去ということも有る)。こちらと狭義の背理法をあわせて(広義の)背理法ということもある。

背理法を使う有名な定理に中間値の定理などがある。(誤解されることもあるが\sqrt{2}が無理数であることや素数が無限に存在することなどは(狭義の)背理法を使わずに否定の導入で証明できる。)

直観論理では、背理法による証明は成立しない。しかし、否定の導入は直観論理でも認められる。

関連項目[編集]

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