斜体 (数学)

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斜体(しゃたい、: skew field; 歪体, : Schiefkörper, : corps)は加減乗除が可能な代数系である[1][2]除法の可能なであるという意味で可除環(かじょかん、division ring, Divisionsring)ともいう[3]係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体[4](たげんたい、division algebra; 可除多元環)と呼称することも多い[5]。非可換な積を持つ体を非可換体(ひかかんたい、non-commutative field)という[6]

定義[編集]

具体的な定義についてはあるいはの各項目を参照せよ(殊に環論の用語は頻繁に用いられる)。非可換体の定義は体あるいは非可換環に

  • 非可換性: 乗法に関して、ある x, y について xyyx となることが起こりうる。

あるいは

  • 可除性: x零元でないならば、その乗法逆元 x−1 が必ずある。

という条件を課したものである[7]。逆元が定まる必要性から、(可除な環と考えるときは)環としては単位的環であることを暗黙に要請する。

斜体の概念は、いくつかの立場から捉えられ用いられるため、それぞれの属する文脈でとくに積の結合性を要求するか否かなどについて差異が認められる。たとえば非可換な体、あるいは可除な単位的(結合)環を相手にする文脈では結合的なものに限ることが多く、非結合的(分配的)多元環で可除なものとする立場からは非結合的(分配的)斜体が範疇に含まれうる。とくに非結合的斜体を認める立場からはアーサー・ケイリー八元数の全体が成す非結合的分配環も斜体として扱うことができるため、八元数体という呼称が用いられることがある。

性質・諸概念[編集]

逆元の存在から、斜体 D の零でない任意の(左・右・両側)イデアル ID の単位元 1D を含まねばならず、それゆえに ID 全体に一致せねばならない。逆に、左イデアルが零か全体にかぎるような単位的(結合)環は斜体となる(右イデアルに関する条件からも同じことがいえる)。斜体は自明でない両側イデアルを持たぬゆえ単純であり、特に可換単純環は常に可換体を成すが、一般に単純環であって斜体とならぬものが存在する。

斜体 D の中心

C(D) := \{ x \in D \mid xy = yx \mbox{ for all } y \in D\}

可換体を成し、D は中心 C(D) 上の多元環となる。多元環に対すると同様、D の中心に可換体 F が含まれるとき、DF 上定義されている、あるいは DF 上の斜体であるという。逆に可換体 F が与えられたとき、F を中心とするその上の斜体はどれくらい存在するのかとの問には Fブラウアー群が答えをあたえる。これは、中心性および単純性が体の持ち上げで保たれることと、体上の単純環は常にある斜体上の全行列環に同型であるというアルティン・ウェダーバーンの定理とによるものである。

可換体 F 上の有限階数(つまりベクトル空間として有限次元)となる斜体 DF 上の次元は平方数 n2 であり、この nDF 上の次数 (degree) とよぶ。次数 nD における F を含む極大可換体 LF 上の次元として得られることが知られている

特にある種の斜体は、アルティン環の極小イデアル上の自己準同型環として得られる。一般に、任意の環上の既約加群の自己準同型環が斜体を成すことを確かめることができ、それをシューアの補題 (Schur's lemma) と呼ぶ。

斜体 D 上の(左・右)加群は可換体上の加群と同様に(ただし作用の左右は区別して)D上のベクトル空間と呼ばれる。

関連項目[編集]

注記[編集]

  1. ^ 森田, 康夫 『代数概論』 裳華房〈数学選書9〉、2003年、第12版。ISBN 978-4-7853-1311-1
  2. ^ 文献によっては、非可換な積を持つもののみを斜体と言う。永田, 雅宜 『可換体論』 裳華房〈数学選書6〉、1985年、新版。ISBN 978-4-7853-1309-8
  3. ^ 堀田, 良之 『可換環と体』 岩波書店、2006年ISBN 4-00-005198-9
  4. ^ 永尾, 汎、津島, 行男 『有限群の表現』 裳華房、2009年、第2版。ISBN 978-4-7853-1310-4
  5. ^ いかなる斜体も、その中心を係数体として多元環と見ることができるので、この区別は文脈上で立場を明確にする必要のある場合を除いてはさほど重要ではない
  6. ^ 永田『可換体論』
  7. ^ 体の定義に乗法の可換性を課す立場ならば可換性条件は破棄する。また、非可換性条件を課すのではなく、可換性を特に問題にしないという意味で非可換と考える場合もある。