オイラー角

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z-x-z系のオイラー角
オイラー角アニメーション

オイラー角とは、三次元ユークリッド空間中の剛体(または、座標系)の姿勢をあらわすための手法の一種で、レオンハルト・オイラーにより考案された。

オイラー角は、ある座標系(基準座標系と原点を共有する)の空間中の姿勢を、基準座標系から座標軸まわりの回転を繰り返すことで表す。ここでは基準座標系を小文字の (x,y,z) で表し、対象座標系を大文字の (X,Y,Z) で表す。

  1. (x,y,z)z軸まわりに角度αだけ回転し、 (x',y',z')とする。
  2. (x',y',z')x'軸まわりに角度βだけ回転し、 (x'',y'',z'')とする。
  3. (x'',y'',z'')z''軸まわりに角度γだけ回転し、 (x''',y''',z''')とする。

この結果 (x''',y''',z''')(X,Y,Z)に一致するならば、対象座標系の向きはオイラー角 α、β、γで表される。

上記の定義は z軸-x軸-z軸の順に回転するので z-x-z系のオイラー角とよばれる。 実際にはどの軸のまわりに回転させるかに任意性があり、同じ座標系をあらわすのに以下のように全部で 12通りの表現法がある。

x-y-z x-z-y y-x-z y-z-x z-x-y z-y-x
x-y-x x-z-x y-x-y y-z-y z-x-z z-y-z