ハミルトンベクトル場

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ハミルトンベクトル場は、ハミルトン形式解析力学、 およびシンプレクティック幾何学に登場するベクトル場。

ハミルトンベクトル場は系の時間発展に幾何学的な解釈を与える: 相空間上の系の時間発展は、ハミルトンベクトル場のフローに一致する。 すなわち、Hをハミルトニアンとし、(q(t),p(t))をHに関する正準方程式の解とするとき、 (q(t),p(t))はハミルトンベクトル場の\, X_H \, の積分曲線\exp(tX_H)に一致する。


定義[編集]

(M,\omega)シンプレクティック多様体とする。 M上の滑らかな関数 f \in C^{\infty}(M)に対して、

 \mathsf{d}X= \omega(X_{f},\cdot)

を満たすM上のベクトル場\, X_{f} \,が唯一つ定まる。 (\, X_{f} \,の存在性はシンプレクティック形式ωが非退化である事と外積代数の一般論から従う。)

Hハミルトニアンとするとき、 ベクトル場 \, X_H \,\, H \,から定まる ハミルトンベクトル場という。

ハミルトンベクトル場\, X_H \,ダルブー座標 (q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})を用いて表すと、

 
X_H = \sum_{i=1}^{n}
\left( \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q_{i}}
-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}} \right)

と書ける。ここで、Mの次元は 2n であるとした。