ポアソン多様体

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ポアソン多様体(-たようたい、Poisson Manifold

 M 多様体とする。 また、 M 上の  C^{\infty} 級関数全体のなすベクトル空間を  C^{\infty}(M) と表すことにする。

 M ポアソン多様体であるとは、次の性質を満たす 写像 \{ \cdot, \cdot \} : C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M) が存在することをいう。

(1)  \{ \cdot,\cdot\} \mathbb{R}-双線形形式である。

(2) \, \{ f,g \} = -\{ g,f \} \,

(3) \, \{ \{ f,g \} , h\} + \{ \{ g,h \} , f\} + \{ \{ h,f \} , g\} = 0 \, :ヤコビ律

(4) \, \{ f, gh \} = g\{ f,h \} + h\{ f,g \} \,

このとき、写像 \{ \cdot, \cdot \} : C^{\infty}(M) \times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M)  M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。


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\, (M,\omega) \,シンプレクティック多様体とする。 このとき、 M 上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

\, \{ f,g \} = \omega( X_{f}, X_{g}) \,

ここで、\, X_{f}, X_{g} \, はそれぞれ \, f,g \, から定まる ハミルトンベクトル場である。 従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。 しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

(q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})ダルブー座標とすると、 シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

 \{ f,g \} = 
\sum_{i=1}^{n}\left(
\frac{\partial f}{\partial p_{i}}\frac{\partial g}{\partial q_{i}}
-\frac{\partial f}{\partial q_{i}}\frac{\partial g}{\partial p_{i}}
\right)

と書ける。

関連項目[編集]

幾何学的量子化