数演算子

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量子力学において、全粒子数が保存されないような系における数演算子(すうえんざんし、英語:particle number operator)とは粒子数を数えるオブザーバブルである。

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態|\Psi\rangle_\nuは1粒子基底状態|\phi_i\rangleから成る。

|\Psi\rangle_\nu=|\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n\rangle_\nu

ここで数演算子生成消滅演算子a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i)\,を用いて以下のように定義する。

\hat{N_i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i)

数演算子は以下の性質を持つ。

\hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu=N_i|\Psi\rangle_\nu

ここでN_iは状態|\phi_i\rangleの粒子の数である。

導出[編集]

\begin{matrix}
a(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_i,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu
&=& \sqrt{N_i}  |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\
a^{\dagger}(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu  &=& \sqrt{N_i}  |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu 
\end{matrix}

よって

\begin{matrix}
\hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu = a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_i,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu
&=& \sqrt{N_i} a^{\dagger}(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\ &=& \sqrt{N_i} \sqrt{N_i} |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\&=& N_i|\Psi\rangle_\nu\\
\end{matrix}

参考文献[編集]

関連項目[編集]