数演算子

量子力学において、全粒子数が保存されないような系における数演算子（すうえんざんし、英語：particle number operator）とは粒子数を数えるオブザーバブルである。

数演算子はフォック空間で作用する。与えられているフォック状態$|\Psi\rangle_\nu$は１粒子基底状態$|\phi_i\rangle$から成る。

$|\Psi\rangle_\nu=|\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n\rangle_\nu$

ここで数演算子を生成消滅演算子$a^{\dagger}(\phi_i)$ 、$a(\phi_i)\,$を用いて以下のように定義する。

$\hat{N_i} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i)$

数演算子は以下の性質を持つ。

$\hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu=N_i|\Psi\rangle_\nu$

ここで$N_i$は状態$|\phi_i\rangle$の粒子の数である。

導出

$\begin{matrix} a(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_i,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu &=& \sqrt{N_i} |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\ a^{\dagger}(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu &=& \sqrt{N_i} |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \end{matrix}$

よって

$\begin{matrix} \hat{N_i}|\Psi\rangle_\nu = a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_i,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu &=& \sqrt{N_i} a^{\dagger}(\phi_i) |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\ &=& \sqrt{N_i} \sqrt{N_i} |\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_{i-1},\phi_{i},\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rangle_\nu \\&=& N_i|\Psi\rangle_\nu\\ \end{matrix}$

参考文献

• Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. (2004). Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. Oxford University Press. ISBN 0-19-856633-6. 
• Second quantization notes by Fradkin

関連項目

• 調和振動子
• 第二量子化
• 場の量子論
• 粒子数