場の古典論

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場の古典論、もしくは古典場の理論(classical field theory)は、(物理的な)(physical field)がどのように物質と相互作用するかについて研究する理論物理学の領域である。古典的という単語は、量子力学と協調する場の理論(場の量子論(quantum field theory))と対比して使われる。

物理的な場は各々の空間時間の点に物理量(physical quantity)を対応させたとして考えることができる。例えば、天気図を考えると、ある国の一日を通じての風速は、空間の各々の点にベクトルを対応させることにより記述できる。各々のベクトルは、その点での大気の運動の方向を表現する。日が進むにつれて、ベクトルの指す方向はこの方向に応じて変化する。数学的な観点からは、古典場はファイバーバンドル共変古典場理論英語版(covariant classical field theory))の切断として記述される。古典場理論という用語は、電磁気重力という自然界の基本的力のうちの 2つを記述する物理理論に共通に使われる。

物理的な場の記述は、相対論の発見の前に行われており、相対論に照らして修正された。従って、古典場の理論は通常、非相対論的相対論的なカテゴリ分けがなされる。

非相対論的場の理論[編集]

最も単純な物理的な場として、ベクトル力の場がいくつかある。歴史的には、初期に重要視された場は、電場を記述するときのマイケル・ファラデー(Michael Faraday)の電気力線を記述したことであった。その後、重力場(gravitational field)も同様に記述された。

ニュートン重力[編集]

重力を記述する古典場の理論は、ニュートン重力(Newtonian gravitation)であり、2つの質量(mass)の間の互いの相互作用としての重力を記述する。

任意の質量をもった剛体 M は他の質量をもった剛体への影響を記述する重力場 g を持っている。空間内の点 r での M の重力場は、r に置かれた小さなテスト質量英語版(test mass)へ及ぼす力 F を決定し、従って m で割ることにより見つけ出すことができる[1]

 \mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m}.

m は M よりはるかに小さいことを規定することは、m の存在は M の振る舞いへの影響を無視することができることを保証する。

ニュートンの万有引力の法則に従うと、F(r) は次式により与えられる[1]

\mathbf{F}(\mathbf{r}) = -\frac{G M m}{r^2}\hat{\mathbf{r}},

ここに \hat{\mathbf{r}} は M と m を結ぶ直線に沿った m から M を指す単位ベクトル(unit vector)とする。従って、M の重力場は、

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = \frac{\mathbf{F}(\mathbf{r})}{m} = -\frac{G M}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

となる[1]

慣性質量と重力質量は前例のないレベルの正確さで等価であるという実験的観察は、重力場の強さと粒子に及ごす加速度による影響を同一視することへと導く。このことが等価原理の始まりの点であり、一般相対論へと導く。

重力の力 F保存場英語版(conservative)[2]であるので、重力場 g は次式のように重力ポテンシャル(gravitational potential) Φ(r) の勾配(gradient)の項で書き表わすことができる。

\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -\nabla \Phi(\mathbf{r}).

電磁気学[編集]

静電場[編集]

電荷 q で帯電したテスト粒子英語版(charged test particle)は、電荷だけでちから F を持つ。このことを電場(electric field) E と書くことができ、F = qE となる。このクーロンの法則(Coulomb's law)を使い、単独の帯電した粒子による電場を

\mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf{r}}.

と表すことができる。電場は保存場英語版(conservative field)であるので、スカラーポテンシャル V(r) により、

 \mathbf{E}(\mathbf{r}) = -\nabla V(\mathbf{r}).

と書くことができる。

静磁場[編集]

経路 ℓ に沿って流れる固定したカレント I は、上記の電場の力とは異なる量の力を近くの帯電粒子に及ぼす。速度 v で動く電荷 q を持った近くの帯電粒子に I の及ぼす力は、

\mathbf{F}(\mathbf{r}) = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}(\mathbf{r}),

である。ここに B(r) は磁場(magnetic field)であり、ビオ・サバールの法則(Biot-Savart law)

\mathbf{B}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d\boldsymbol{\ell} \times d\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.

により I より決定される。磁場は一般には保存場ではないので、スカラーポテンシャルで書き表すことが普通はできない。しかしながら、ベクトルポテンシャル英語版(vector potential) A(r)を使い、

 \mathbf{B}(\mathbf{r}) = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}(\mathbf{r})

と書き表すことができる。

電磁気学[編集]

一般に、電荷密度 ρ(r, t) とカレンド密度 J(r, t) の双方が存在すると、電場と磁場の双方が発生し、両方とも時間とともに変化する。これらを決定するのが、マクスウェルの方程式(Maxwell's equations)であり、EB を ρ と J とへ直接関係づける一連の微分方程式(系)である[3]

代わりに、スカラーポテンシャル V とベクトルポテンシャル A で系を記述することもできる。遅延ポテンシャル(retarded potential)として知られる一連の積分方程式(系)は、V と A を ρ と J から算出することを可能とし[note 1]、このことから、電場と磁場が関係式

 \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} V - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
 \mathbf{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}

を通して決定される[4]

流体力学[編集]

相対論的場の理論[編集]

古典場理論の現代の定式化では、相対論的場の理論が自然の基本的側面として認識されていて、一般にローレンツ共変性(Lorentz covariance)が要求される。場の理論は数学的にはラグラジアンを使い表現される傾向を持つ。ラグランジアンは、作用原理(action principle)を考えたときに場の方程式英語版(field equations)や理論の保存則(conservation law)を発生させる機能を持っている。

以後、単位として c=1 として使うこととする。

ラグランジュ力学[編集]

場のテンソル \phi が与えられると、ラグラジアン密度英語版(Lagrangian density)と呼ばれるスカラー \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)\phi とこの微分から構成することができる。

この密度から、汎函数の作用は、時空上の積分することにより、

\mathcal{S} = \int{\mathcal{L} \mathrm{d}^4x}

として構成することができる。従って、ラグラジアン自体は、全空間でのラグラジアン密度の積分にひとしい。

よって、作用原理(action principle)を適用することにより、オイラー・ラグランジェ方程式は、

\frac{\delta \mathcal{S}}{\delta\phi}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} -\partial_\mu  \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right)+.~.~.+(-1)^m\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}.~.~.\partial_{\mu_{m-1}} \partial_{\mu_m} \left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu_1} \partial_{\mu_2}...\partial_{\mu_{m-1}}\partial_{\mu_m} \phi)}\right)=0.

として得られる。

相対論的場[編集]

2つの最も有名なローレンツ共変な古典場理論を以下に記述する。

電磁気学[編集]

歴史的には、最初の(古典)場の理論は、電気的な場と磁気の場を分けて記述する場の理論であった。数々の実験の後で、これら 2つの場が関係している、実際、同じ電磁場(electromagnetic field)という場の 2つの側面であることが判明した。マクスウェル(James Clerk Maxwell)の電磁場の理論は、電荷をもつ物質と電磁場の相互作用を記述する。この場の理論の最初の定式化は、電気的な場と磁気的な場を記述するためにベクトル場を使った。特殊相対論の出現により、テンソルを使ったより良い(力学とより整合性を持つ)定式化が発見された。電気な場と磁気的な場を使う 2つのベクトル場の替わりに、これら 2つの場を同時に表現するテンソル場が使われる。

既に、電磁ポテンシャル(electromagnetic potential) A_a=\left(-\phi, \vec{A} \right)電荷・電流密度(electromagnetic four-current) j_a=\left(-\rho, \vec{j}\right) を知っているが、任意の時空の点での電磁場は、反対称 (0,2)-ランクの電磁テンソル(electromagnetic field tensor)

F_{ab} = \partial_a A_b - \partial_b A_a.

により記述される。

ラグランジアン[編集]

この場の力学を得るためには、場からスカラーを構成してみる。真空では、\mathcal{L} = \frac{-1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab} である。相互作用項を得るためにゲージ場理論(gauge field theory)を使うことができて、これから

\mathcal{L} = \frac{-1}{4\mu_0}F^{ab}F_{ab} + j^aA_a.

を得る。

方程式[編集]

オイラー・ラグランジェ方程式は、

\partial_b\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_b A_a\right)}\right)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_a}

であることを言っているので、この式と組み合わせることで、求めている結果を得る。

\partial\mathcal{L}/\partial A_a = \mu_0 j^a となっていることは容易にわかる。左辺は、トリッキーであるが、F^{ab} の各要素に注意すると、計算の結果は \partial\mathcal{L}/\partial(\partial_b A_a) = F^{ab} となる。と同時に、運動方程式は、

\partial_b F^{ab}=\mu_0j^a

となる。これはベクトルの方程式で、真空での方程式がマックスウェル方程式(Maxwell's equation)となる。他の 2つは、次式に示す F が A の 4-curl であるという事実から得られる。

6F_{[ab,c]} \, = F_{ab,c} + F_{ca,b} + F_{bc,a} = 0.

ここに、コンマは偏微分を表す。

重力[編集]

ニュートン重力は特殊相対論と整合性がないことが判明した後、アルバート・アインシュタイン(Albert Einstein)は一般相対論と呼ばれる重力の新しい理論を定式化した。この理論は、重力を質量により時空が歪められるという幾何学的現象として扱い、重力場を数学的には計量テンソル英語版(metric tensor)と呼ばれるテンソル場(tensor field)により表現している。アインシュタインの場の方程式(Einstein field equations)は、この曲率がどのように生成されるかを記述している。場の方程式はアインシュタイン・ヒルベルト作用(Einstein-Hilbert action)を使い導出される。R \, =R_{ab}g^{ab}リッチテンソル \, R_{ab}計量テンソル英語版 \, g_{ab} の項で書き下したリッチスカラー曲率(Ricci scalar)とすると、ラグラジアン

\mathcal{L} = \, R \sqrt{-g},

を変分することは、真空の場の方程式

G_{ab}\, =0

を導出することを意味する。ここに、G_{ab} \, =R_{ab}-\frac{R}{2}g_{ab}アインシュタインテンソル英語版(Einstein tensor)である。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ 、このことは、ゲージ固定英語版(gauge fixing)というカレントの選択に付随したもの(contingent)である。V と A は ρ と J によって完全に決定されるのではなく、むしろ、ゲージとして知られているあるスカラー函数 f(r, t) の差異をのぞいて一意に決定される。遅延ポテンシャルの定式化はローレンツゲージ(Lorentz gauge)の選択を必須とする。

参考文献[編集]

  1. ^ a b c Kleppner, David; Kolenkow, Robert. An Introduction to Mechanics. p. 85. 
  2. ^ スカラーポテンシャルで場の強さが表される場を、保存場(consevative field)という。
  3. ^ Griffiths, David. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). p. 326. 
  4. ^ Wangsness, Roald. Electromagnetic Fields (2nd ed.). p. 469. 

外部リンク[編集]