電荷・電流密度

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電磁気学
VFPt Solenoid correct2.svg


電気 · 磁性

電荷・電流密度(でんか・でんりゅうみつど, 英語: four-current)、或いは4元電流密度とは、電荷密度電流密度相対論的に記述したものである。

電荷・電流密度は4元ベクトルでありローレンツ変換に従う。 電荷密度 \rho(t,\boldsymbol{x})、電流密度 \boldsymbol{j}(t,\boldsymbol{x}) によって

j^\mu = (c \rho, \boldsymbol{j})

と書かれる。ここで c は光速度であり、電荷密度の次元を電流密度の次元に換算する定数である。

電荷・電流密度は連続の方程式

\partial_\mu j^\mu = 0

を満たす。

電荷・電流密度は電磁場の源(ソース)でありマクスウェルの方程式

\partial_\nu F^{\nu\mu} = \mu_0 j^\mu

\partial_\nu\partial^\nu A^\mu -\partial^\mu\partial_\nu A^\nu =\mu_0 j^\mu

を満たす。ここで F は電磁場テンソル、A は電磁ポテンシャルである。 また、μ0透磁率である。

また、電荷・電流密度は、電磁場からローレンツ力

f_\mu = j^\nu F_{\nu\mu}

を受ける。

ラグランジュ形式[編集]

物質 ψ と電磁場 A が相互作用する系の作用積分

S_\psi[\psi] +S_A[A] +S_\mathrm{int}[\psi,A]

と書かれる。この系の電荷・電流密度は

j^\mu(x) = -\frac{\delta S_\mathrm{int}[\psi,A]}{\delta A_\mu(x)}

と表される。

相対論的粒子系[編集]

微視的に見ると電荷・電流密度は荷電粒子の集合である。 相対論的な粒子系を考えると、電荷 qi の粒子が位置 z_i にあるとき、

j^\mu(x) = \sum_i \int d\tau_i\, \left(
 q_i \frac{dz_i^\mu}{d\tau_i} \delta^4(x-z_i) \right)

である。

ディラック場[編集]

粒子系がディラック場 ψ で与えられるとき

j^\mu(x) = eQ_i \bar\psi_i(x)\gamma^\mu\psi_i(x)

となる。ここで e は電磁相互作用結合定数素電荷)、Q は場 ψ の U(1) チャージである。γ はガンマ行列である。

関連語句[編集]