ベータ分布

ベータ分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	α > 0 形状母数 β > 0 形状母数
台	$x \in [0; 1]\!$
確率密度関数	$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!$ (B(・,・)はベータ関数)
累積分布関数	$I_x(\alpha,\beta)\!$
期待値	$\operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!$ $\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!$ (ψ(・)はディガンマ関数)
中央値	$\begin{matrix}I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)\text{ (in general) }\\[0.5em] \approx \frac{ \alpha - \tfrac{1}{3} }{ \alpha + \beta - \tfrac{2}{3} }\text{ for }\alpha>1, \beta>1\end{matrix}$
最頻値	$\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\!$ for α, β >1
分散	$\operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!$ $\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)\!$ (ψ1(・)はトリガンマ関数)
歪度	$\frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}$
尖度	$\frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}$
エントロピー	$\begin{matrix}\ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em] +(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}$
モーメント母関数	$1 +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}$
特性関数	${}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\!$ (see Confluent hypergeometric function)

ベータ分布（ベータぶんぷ）は、連続型の確率分布であり、第1種および第2種がある。

第1種ベータ分布

第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その確率密度関数は以下で定義される。

$\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}$

ここで$B(\alpha\!, \beta)$はベータ関数であり、確率変数の取る値は$0\le x\le1$、パラメータ$\alpha\!, \beta$はともに正の実数である。期待値は $\alpha/(\alpha+\beta)$、分散は $(\alpha\beta)/((\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1))$ である。

第2種ベータ分布

確率変数$X\!$が第1種ベータ分布にしたがうとき、$\frac{X}{1-X}$のしたがう分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。

$\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\frac{x^{\alpha-1}}{(1+x)^{\alpha+\beta}}$

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布

外部リンク

• GSL reference manual Japanese version