ベータ分布

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ベータ分布
確率密度関数
ベータ分布の確率密度関数
累積分布関数
ベータ分布の累積分布関数
母数 α > 0 形状母数
β > 0 形状母数
x \in [0; 1]\!
確率密度関数 \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta)}\!
(B(・,・)はベータ関数)
累積分布関数 I_x(\alpha,\beta)\!
期待値 \operatorname{E}[X] = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\!
\operatorname{E}[\ln X] = \psi(\alpha) - \psi(\alpha + \beta)\!
(ψ(・)はディガンマ関数)
中央値 \begin{matrix}I_{\frac{1}{2}}^{[-1]}(\alpha,\beta)\text{ (in general) }\\[0.5em]
\approx \frac{ \alpha - \tfrac{1}{3} }{ \alpha + \beta - \tfrac{2}{3} }\text{ for }\alpha>1, \beta>1\end{matrix}
最頻値 \frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\! for α, β >1
分散 \operatorname{var}[X] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}\!
\operatorname{var}[\ln X] = \psi_1(\alpha) - \psi_1(\alpha + \beta)\!
1(・)はトリガンマ関数)
歪度 \frac{2\,(\beta-\alpha)\sqrt{\alpha+\beta+1}}{(\alpha+\beta+2)\sqrt{\alpha\beta}}
尖度 \frac{6[(\alpha - \beta)^2 (\alpha +\beta + 1) - \alpha \beta (\alpha + \beta + 2)]}{\alpha \beta (\alpha + \beta + 2) (\alpha + \beta + 3)}
エントロピー \begin{matrix}\ln\mathrm{B}(\alpha,\beta)-(\alpha-1)\psi(\alpha)-(\beta-1)\psi(\beta)\\[0.5em]
+(\alpha+\beta-2)\psi(\alpha+\beta)\end{matrix}
モーメント母関数 1  +\sum_{k=1}^{\infty} \left( \prod_{r=0}^{k-1} \frac{\alpha+r}{\alpha+\beta+r} \right) \frac{t^k}{k!}
特性関数 {}_1F_1(\alpha; \alpha+\beta; i\,t)\! (see Confluent hypergeometric function)
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ベータ分布(ベータぶんぷ)は、連続型確率分布であり、第1種および第2種がある。

第1種ベータ分布[編集]

第1種ベータ分布を単に「ベータ分布」と呼ぶ場合もある。その確率密度関数は以下で定義される。

\frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}{B(\alpha,\beta)}

ここでB(\alpha\!, \beta)ベータ関数であり、確率変数の取る値は0\le x\le1、パラメータ\alpha\!, \betaはともに正の実数である。期待値は \alpha/(\alpha+\beta)、分散は (\alpha\beta)/((\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)) である。

第2種ベータ分布[編集]

確率変数X\!が第1種ベータ分布にしたがうとき、\frac{X}{1-X}のしたがう分布を第2種ベータ分布と呼ぶ。その確率密度関数は以下で定義される。

\frac{1}{B(\alpha,\beta)}\frac{x^{\alpha-1}}{(1+x)^{\alpha+\beta}}

参考文献[編集]

  • 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
  • B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目[編集]

外部リンク[編集]