t分布

スチューデントのt分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\nu > 0$ 自由度 (実数)
台	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
確率密度関数	$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!$
累積分布関数	$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})} \end{matrix}$ ここで、 2F1 は 超幾何関数
期待値	$0$ (ただし、 $\nu>1$)
中央値	$0$
最頻値	$0$
分散	$\nu>2\!$ の場合、$\frac{\nu}{\nu-2}$ $1<\nu\le2\!$ の場合、 $\infty$ (無限大)
歪度	$0$ (ただし、$\nu>3$ の場合)
尖度	$\frac{6}{\nu-4}$ (ただし、 $\nu>4\!$ の場合)
エントロピー	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $\psi$: digamma function, $B$: ベータ関数
モーメント母関数	(Not defined)
特性関数	$\frac{K_{\nu/2}(\sqrt{\nu}|t|)(\sqrt{\nu}|t|)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}}$ ただし、 $\nu>0$の場合。 $K_{\nu}(x)$はベッセル関数

統計学および確率論において、t分布(または、スチューデントのt分布)は、 連続確率分布であり、サンプル数が少ない場合に正規分布をとる母集団の平均を推定する問題に使用される。2つのサンプル平均間の差の統計的有意や2つの母集団平均間の差の信頼区間を求めるのによく使われるt検定の基礎となる。t分布は、一般化双曲型分布の特別なケースである。

導出

X₁, ..., X_n が、平均 μ、分散 σ² の正規分布に従う独立な確率変数であるとする。また標本平均を

$\overline{X}_n = \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

とし、不偏分散を

$U_n^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n ( X_i-\overline{X}_n )^2$

とする。ここで次の変数

$T = \frac{\overline{X}_n-\mu}{U_n/\sqrt{n}}$

を考えると、これは

$f(t) = \frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma(\nu/2)} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$

（ただし ν = n − 1、Γ はガンマ関数）という確率密度関数に従うことが、ゴセットによって示された。ここで T の従う分布を t 分布（またはスチューデント分布）と呼ぶ。ν は自由度と呼ばれる。この分布は ν によるが、もとの正規分布の母数である μ や σ にはよらない。この性質から、標本値から母集団の平均値を統計的に推定する区間推定や、母集団の平均値の仮説検定に利用できる。

分布関数

累積分布関数は、正則不完全ベータ関数を用いて以下のように表される。

$\int_{-\infty}^t f(u)\,du = I_x\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right) = \frac{B\left(x;\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)}{B\left(\frac{\nu}{2},\frac{\nu}{2}\right)}$

ただし、

$x = \frac{t+\sqrt{t^2+\nu}}{2\sqrt{t^2+\nu}}.$

モーメント

T分布のモーメントは以下の式で表される。

• $k\,$ が奇数の場合

$E(T^k)=\begin{cases} 0\; , &\quad 0<k< \nu\\ \mbox{NaN}\; , &\quad 0<\nu\leq k\\ \end{cases}$

• $k\,$ が偶数の場合

$E(T^k)=\begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})\Gamma(\frac{\nu-k}{2})\nu^{k/2}}{\sqrt{\pi}\Gamma(\frac{\nu}{2})}\; , &\quad 0<k< \nu\\ \infty\; , &\quad 0<\nu\leq k\\ \end{cases}$

特別なケース

νの値により、簡単な形となる。

ν = 1 の場合

ν = 1の場合、コーシー分布と一致する。

分布関数:

$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\arctan(x).$

確率密度関数:

$f(x) = \frac{1}{{\pi}(1+x^2)}.$

ν = 2 の場合

分布関数:

$F(x) = \frac{1}{2}\left[1+\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\right].$

確率密度関数:

$f(x) = \frac{1}{\left(2+x^2\right)^{3/2}}.$

ν → ∞ の場合

自由度νが∞(無限大)に近づくにつれ、t分布は正規分布に近づく。

語源

"スチューデント"の分布は1908年、ウィリアム・ゴセットにより発表された。 当時、ゴセットはビール醸造会社であるギネスに雇用されており、ギネスでは秘密保持のため従業員による科学論文の公表を禁止していたので、ゴセットはこの問題を回避するため「スチューデント」というペンネームを使用して論文を発表した。 その後、フィッシャーがこの論文の重要性を見抜き「スチューデントの分布」と呼んだため、このように呼ばれるようになった。

関連項目

• 非心t分布
• コーシー分布
• 正規分布