対数正規分布

対数正規分布

確率密度関数 μ=0
累積分布関数 μ=0
母数	$\mu \in \mathbb{R}$ $\sigma > 0\,$
台	$x\in (0,\infty)$
確率密度関数	$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} e^{-\frac{ (\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} }$
累積分布関数	$\frac{1}{2} \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln{x} - \mu}{\sqrt{2}\sigma}\right]$
期待値	$e^{\mu+\frac{ \sigma^2 }{2} }$
中央値	$e^{\mu} \,$
最頻値	$e^{\mu-\sigma^2} \,$
分散	$e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) \,$
歪度	$\sqrt{e^{\sigma^2}-1}(e^{\sigma^2}+2) \,$
尖度	$e^{4\sigma^2}+2e^{3\sigma^2}+3e^{2\sigma^2}-6 \,$
エントロピー	$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln{(2\pi\sigma^2)} + \mu$

確率論および統計学において、対数正規分布（たいすうせいきぶんぷ、英: log-normal distribution）は、連続確率分布の一種である。この分布に従う確率変数の対数をとったとき、対応する分布が正規分布になる性質をもつ。

定義と性質

定数μと正の定数σ>0に対し、正の実数を値にとる確率変数Xの確率密度関数f (x )が

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma x} e^{-\frac{ (\ln{x}-\mu)^2}{2\sigma^2} }, \quad 0<x< \infty$

で与えられるとき、確率変数Xは対数正規分布に従うという。また、上記の確率密度分布に対応する対数正規分布をLN(μ, σ²)と表記する。なお、正規分布と異なり、分布のパラメータμ, σ²自体は平均、分散に対応しない。

このとき、対応する累積分布関数F (X )は

$\begin{align} F(x) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma } \int_{0}^{x}\frac{1}{u} e^{-\frac{ (\ln{u}-\mu)^2}{2\sigma^2} } du \\ &= \frac12 \operatorname{erfc}\!\left[-\frac{\ln{x} - \mu}{\sqrt{2}\sigma}\right] \\ &= \Phi\biggl (\frac{\ln{x} - \mu}{\sigma}\biggr ) \end{align}$

である。但し、erfcは相補誤差関数、Φは標準正規分布の累積分布関数である。

正規分布との関係

対数正規分布という名は、対数正規分布LN(μ, σ²)に従う確率変数X　の対数関数をとったときに、新たな確率変数Y=lnX が正規分布N(μ, σ²)に従うことに由来する。また、正規分布に従う確率変数が負の値をとりうるのに対して、対数正規分布に従う確率変数は正の値のみとるという性質を有する。

平均・分散

LN(μ, σ²)に従う確率変数Xに対し、平均E(x)および分散V(x)はそれぞれ以下で与えられる。

$E(X) = e^{\mu+\frac{ \sigma^2 }{2} }$

$V(X) = e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)$

積の分布

対数正規分布LN(μ₁, (σ₁)²)に従う確率変数Xと対数正規分布LN(μ₂, (σ₂)²)に従う確率変数Yが互いに独立であるとき、確率変数の積X Yは対数正規分布LN(μ₁+μ₂, (σ₁)²+(σ₂)²)に従う。 この性質は正規分布が再生性を有することから導かれる。

n次対数正規分布

Espensheidらによって提案された次の分布f_n (x ) をn 次対数正規分布（n -th order log-normal distribution）という：

$f_n(x) = c_n x^n \exp\left(-\frac{(\ln x-\ln\mu)^2}{2(\ln \sigma)^2}\right)$

ここで、μ , σ はそれぞれ平均、分散に関する値、c_n は正規化のための定数で

$c_n^{-1} = \sqrt{2\pi} \ln\sigma \mu^{n+1} \exp\left(\frac{(n+1)^2(\ln\sigma)^2}{2}\right)$

である。通常の対数正規分布はn = -1 次の場合に相当する。

0次対数正規分布

特に0次対数正規分布（ZOLD）：

$f_0(x) = \frac{\exp\left(-\dfrac{(\ln x-\ln\mu)^2}{2(\ln \sigma)^2}\right)}{\sqrt{2\pi} \ln\sigma \mu \exp\left(\dfrac{(\ln\sigma)^2}{2}\right)}$

は、最頻値がμ に等しく、σ に依存しないことから感覚的な理解が容易で、物理学の分野で用いられることがある。

参考文献

• 蓑谷千凰彦 『統計分布ハンドブック』 朝倉書店、2003年。 

関連項目

• 正規分布