ロジスティック分布

ロジスティック

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\mu\,$ : 位置(location)パラメータ(実数) $s>0\,$ : 尺度(scale)パラメータ(実数)
台	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
確率密度関数	$\frac{e^{-(x-\mu)/s}} {s\left(1+e^{-(x-\mu)/s}\right)^2}\!$
累積分布関数	$\frac{1}{1+e^{-(x-\mu)/s}}\!$
期待値	$\mu\,$
中央値	$\mu\,$
最頻値	$\mu\,$
分散	$\frac{\pi^2}{3} s^2\!$
歪度	$0\,$
尖度	$6/5\,$
エントロピー	$\ln(s)+2\,$
モーメント母関数	$|s\,t|<1$ の場合、 $e^{\mu\,t}\,\mathrm{B}(1-s\,t,\;1+s\,t)$ ここで、$\mathrm{B}(a,b)\,$ はベータ関数
特性関数	$|ist|<1\,$ の場合、 $e^{i \mu t}\,\mathrm{B}(1-ist,\;1+ist)\,$

ロジスティック分布（ロジスティックぶんぷ、logistic distribution）は、連続型の確率分布のひとつで、その分布関数がロジスティック関数となるようなものである。正規分布と同様に対称なS字（シグモイド）型の分布関数、釣鐘型の確率密度関数を持ち一見して両者は類似しているが、ロジスティック分布の方が裾が長く密度関数は平均から離れても下がりにくい。

定義と性質

確率変数を実数 $x (-\infty<x<\infty)$ とするときのロジスティック分布は、（累積）分布関数 F(x; μ, s) が、

$F(x; \mu, s) = \frac{1}{1 + e^{-(x - \mu)/s}} = \frac{1}{2}\left\{\tanh\left(\frac{x - \mu}{2 s}\right) + 1\right\},$

あるいは確率密度関数 f(x; μ, s) が

$f(x; \mu, s) = \frac{\exp(-\frac{x-\mu}{s})}{s(1+\exp(-\frac{x-\mu}{s}))^2}$

となる分布として定義される。

このとき、期待値は $\mu$、分散は $\pi^2s^2/3$ である。 歪度は0であり正規分布と同様に平均のまわりで対象であるが、尖度は 6/5 = 1.2 となる。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布

外部リンク

• 朱鷺の杜Wiki
• GSL reference manual Japanese version