フォン・ミーゼス分布

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フォン・ミーゼス分布(フォン・ミーゼスぶんぷ; 英語: von Mises distribution)は、円周上に定義された連続型確率分布である。方向統計学(Directional statistics)における代表的な分布モデルであり、確率変数を角度の関数として表す分布モデルなどに使われる。名前はリヒャルト・フォン・ミーゼスにちなむ。

定義と性質[編集]

フォン・ミーゼス分布の確率密度関数を単位円上にプロットした図

\mu~(0\le\mu<2\pi),~\beta~(\beta\ge 0) をパラメータ、実数 \theta~(0\le\theta<2\pi) を確率変数 とするときのフォン・ミーゼス分布の分布関数 F(\theta) および確率密度関数 f(\theta) は以下の式で定義される。

F(\theta)=\left\{2\pi I_0(\beta)\right\}^{-1}
    \left[\theta I_0(\beta)+2\left\{\sum_{j=0}^\infty\frac{I_j(\beta)\sin(j(\theta-\mu))}{j}\right\}\right]
f(\theta)=\frac{\exp\{\beta\cos(\theta-\mu)\}}{2\pi I_0(\beta)}

ここで

I_j(\beta)=\left(\frac{\beta}{2}\right)^j\sum_{i=0}^\infty\frac{\left(\frac{\beta^2}{4}\right)^i}{i!\Gamma(j+i+1)}

j 次の第一種変形ベッセル関数である。 パラメータ \beta が大きいとき正規分布に近似でき、\beta=0 のとき一様分布に帰着する。

定義域が有限 (0\le\theta<2\pi)、または \theta に関して周期関数であることから、正規分布とは異なるが、 方向統計学における代表的な分布であること、二変量正規分布を変換することでフォン・ミーゼス分布を得られること、最尤推定により平均方向が得られることなど、 正規分布と類似性もあることから、円周正規分布 (circular normal distribution) と呼ばれることもある。しかし、再生性を持たない等、正規分布と異なる性質もある。

参考文献[編集]

  • 清水邦夫, 「方向統計学の最近の発展」, 計算機統計学, 第19巻, 第2号, pp. 127-150 (2006).
  • 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).

関連項目[編集]

外部リンク[編集]