非心t分布

非心t分布（ひしんティーぶんぷ noncentric t-distribution）とは、確率分布と統計学におけるスチューデントのt分布を一般化したものである。

非心な統計母数、たとえば「X の上位10パーセント値」のようなものの信頼区間を標本データだけに基いて計算するのに有用である。

非心t分布になる場合と分布の特徴 [編集]

もしも $X$ が正規分布するランダム変数で分散が1, 平均が $\mu$ であり、 $Y$ はカイ二乗分布するランダム変数で自由度が $\nu$ で、 $X$ から統計的に独立である場合、

$T=\frac{X}{\sqrt{Y/\nu}}$

は非心t分布するランダム変数で、その自由度は $\nu$ 、非心母数は $\mu$ である。

非心t分布の確率密度関数は ^[1]

$f(t) =\frac{\nu^{\nu/2}e^{-\nu\mu^2/2(t^2+\nu)}} {\sqrt{\pi}\Gamma(\nu/2)2^{(\nu-1)/2}(t^2+\nu)^{(\nu+1)/2}}$

$\times\int\limits_0^\infty x^\nu\exp\left[-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu}}\right)^2\right]dx$

ここで $\nu>0$ である。この確率密度関数の定義域は実数である。

非心t分布の平均および分散は ^[2]

$\mbox{E}\left[T\right]= \begin{cases} \mu\sqrt{\frac{\nu}{2}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)} &\nu>1\\ \mbox{Does not exist} &\nu\le1\\ \end{cases}$

and

$\mbox{Var}\left[T\right]= \begin{cases} \frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu-2} -\frac{\mu^2\nu}{2} \left(\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}\right)^2 &\nu>2\\ \mbox{Does not exist} &\nu\le2\\ \end{cases}.$