超幾何分布

超幾何分布（ちょうきかぶんぷ、英：Hypergeometric distribution）は、離散型の確率分布である。母集団が$N\!$個の要素を持ち、ある属性を持つ要素がそのうち$M\!$個あるとする。この母集団から$k\!$個の要素を取り出したとき（非復元抽出）、その属性を持つ要素が$x\!$個含まれている確率が超幾何分布で表される。

定義と性質

超幾何分布の確率関数（試行により確率変数 $x$ の値が $X$ をとる確率を表す）は以下の式で定義される。

$P(X=x)=\frac{\binom{M}{x}\binom{N-M}{k-x} }{\binom{N}{k}}$

また確率の期待値は以下で表される。

$E(P(X))=\frac{kM}{N}$

$N\!$が大きくなると、二項分布に近づいていく。また$N\!$と$M\!$の比が小さく、サンプル数($k\!$)が大きいとき、ポアソン分布に近づく。

例

たとえば赤い玉10個と白い玉20個を混ぜた、計30個のものから5個の球を取りだすとき、赤い玉が一つだけである確率は

$\frac{\binom{10}{1}\binom{30-10}{5-1} }{\binom{30}{5}}=\frac{8075}{23751}\approx 0.34$

であり、何度も試行を行う場合の赤い玉の個数の期待値は

$\frac{5\times 10}{30}\approx 1.67$

である。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).
• M. Galassi et al. (富永大介訳), GNU Scientific Library リファレンスマニュアル ver. 1.8, p. 199 (2006).

関連項目

• 確率分布

外部リンク

• Hypergeometric Probability Distribution Calculator (ALPHA) (超幾何分布の計算ができるウェブ・アプリケーション、英語)
• ちっぷす:超幾何分布を perl で計算 (日本語)
• Hypergeometric Probability Calculator: When Good Statistics Go Bad (ウェブ・アプリケーション、C++ および Ruby のソースコード、英語)
• GSL reference manual Japanese version (GNU Scientific Library のマニュアルの超幾何分布を計算する関数のページ