ガンベル分布

ガンベル分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$\mu \in \mathbb{R}\,$ $\eta >0\,$
台	$x\in (-\infty, \infty)$
確率密度関数	$\frac{1}{\eta}\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\eta}\right)\right\}$ $\times \exp\left[-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\eta}\right)\right\}\right]$
累積分布関数	$\exp\left[-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\eta}\right)\right\}\right]$
期待値	$\mu+ \gamma \eta \,$
中央値	$\mu-\eta \log{(\log{2})}\,$
最頻値	$\mu \,$
分散	$\frac{\pi^2\eta^2}{6}\,$
歪度	$\frac{12\sqrt{6}\zeta(3)}{\pi^2}$
尖度	$\frac{12}{5}$
エントロピー	$\log{\eta}+\gamma+1 \!$
モーメント母関数	$e^{\mu t}\Gamma(1-\eta t) \text{ for } t<1/\eta \,$
特性関数	$e^{i\mu t}\Gamma(1-i\eta t)\,$

確率論および統計学において、ガンベル分布（ガンベルぶんぷ、英:Gumbel distribution）は、連続確率分布の一種である。さまざまな分布に従う確率変数の最大値が漸近的に従う分布であり、極値分布のタイプI型に相当する。分布の名は極値統計学の先駆的な研究を行ったドイツの数学者エミール・ユリウス・ガンベルに因む。

定義

定数μと正の定数η>0に対し、確率変数Xの累積分布関数F (X )が

$F(x) = \exp\left[-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\eta}\right)\right\}\right], \quad -\infty< x < \infty$

で与えられるとき、確率変数Xはガンベル分布に従うという。このとき、対応する確率密度関数f (x )は

$f(x) = \frac{1}{\eta}\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\eta}\right)\right\}\exp\left[-\exp\left\{-\left(\frac{x-\mu}{\eta}\right)\right\}\right], \quad -\infty< x < \infty$

である。ガンベル分布は極値分布のタイプIに相当する。

性質

平均・分散

ガンベル分布の確率変数を X とするとき、平均 E (X ) および分散 V (X ) は次のように表される。

$E(X) = \mu+ \gamma \eta \,$

$V(X) = \frac{\pi^2\eta^2}{6}$

ここでγ=0.577...はオイラーの定数である。

モーメント母関数・特性関数

ガンベル分布の確率変数を X とするとき、モーメント母関数 M_X(t) は

$M_X(t)= e^{\mu t}\Gamma(1-\eta t) \quad \biggl ( t<\frac{1}{\eta} \biggr )$

で与えられる。ここでΓ(x )はガンマ関数を表す。

また、特性関数 φ_X(t) は

$\phi_{X}(t)=M_X(it)= e^{i\mu t}\Gamma(1-i\eta t)$

で与えられる。

キュムラント母関数・キュムラント

ガンベル分布の確率変数を X とするとき、キュムラント母関数K_X(t ) は

$K_X(t)=\log{M_X(t)}= \mu t+\log{\Gamma(1-\eta t)} \quad \biggl ( t<\frac{1}{\eta} \biggr )$

で与えられる。 このとき、n 次のキュムラントκ_nは

$\kappa_n= \frac{\partial^n}{\partial t^n}K_X(t)\biggr\vert_{t=0}= \begin{cases} \mu+ \gamma \eta &\,(n=1) \\ \eta^k(n-1)! \zeta(n) &\, (n\geq2)\\ \end{cases}$

となる。ここでζ(n )はゼータ関数である。

参考文献

• Gumbel. E. J.：Statistics of Extremes, Columbia University Press, 1963.

関連項目

• 極値分布
• 順序統計量