カイ二乗分布

カイ二分布

確率密度関数
累積分布関数
母数	$k \in \{1,2,\cdots \} =\mathbb{Z}_{+} \,$
台	$x\in [0, \infty)$
確率密度関数	$\frac{x^{k/2-1}e^{-x/2}}{\,2^{k/2} \Gamma(k/2)}$
累積分布関数	$\frac{\gamma(k/2, x/2)}{\Gamma(k/2)}$
期待値	$k \,$
中央値	$\simeq k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}$
最頻値	$0\text{ for }k < 2 \,$ $k-2 \text{ for }k \geq 2$
分散	$2k\,$
歪度	$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{k}}$
尖度	$\frac{12}{k}$
エントロピー	$k/2 +\ln2+ \ln\Gamma(k/2) \!$ $+ (1-k/2 ) \psi(k/2) \,$
モーメント母関数	$\frac{1}{(1 - 2t)^{k/2}}\text{ for }t < 1/2$
特性関数	$\frac{1}{(1 - 2i t)^{k/2}}$

カイ二乗分布（カイにじょうぶんぷ、カイじじょうぶんぷ）、または$\chi ^2$分布は確率分布の一種で、推計統計学で最も広く利用されるものである。ヘルメルトにより発見され、ピアソンにより命名された。

$X_i$ を、平均$\mu_i$ で分散$\sigma_i^2$ の正規分布に従う、k 個の独立なランダム変数とすると、統計量

$Z = \sum_{i=1}^k \left(\frac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2$

はカイ二乗分布に従う。普通はこれを

$Z\sim\chi^2_k$

と書く。カイ二乗分布は$k$ という1個の母数をもつ。これは$X_i$ の自由度に等しい正の整数である（場合によっては非整数自由度のカイ二乗分布も用いられる）。カイ二乗分布はガンマ分布の特殊な場合に当たる。

カイ二乗分布はカイ二乗検定と総称される多くの検定法のほか、フリードマン検定などにも利用される。

性質

カイ二乗分布の確率密度関数は

$x \ge 0$ に対し

$f(x;k)=\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$、

また$x \le 0$ に対し$f_k(x) = 0$ という形をとる。ここで $\Gamma$ はガンマ関数である。

累積分布関数は

$F(x;k)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\$

（ただし$\gamma(k,z)$ は不完全ガンマ関数）である。

$Y = (X_1 / \nu_1)/(X_2 / \nu_2)$ （ただし $X_1 \sim \chi_{\nu_1}^2$ と $X_2 \sim \chi_{\nu_2}^2$ はカイ二乗分布に従う独立なランダム変数）とすると、$Y \sim \mathrm{F}(\nu_1, \nu_2)$ 、つまり自由度で割って比をとるとF分布に従う。

$X \sim \chi_2^2$ （自由度2）ならば、$X$ は期待値2の指数分布に従う。

自由度 $k$ のカイ二乗分布に従うランダム変数の期待値は$k$ で、分散は $2k$ である。中央値は近似的に

$k-\frac{2}{3}+\frac{4}{27k}-\frac{8}{729k^2}$

となる。

カイ二乗分布は再生性を持つ。すなわち、$X \sim \chi_m^2, \ Y \sim \chi_n^2$ならば、$X + Y \sim \chi_{m+n}^2$となる。

正規分布による近似

$X\sim\chi^2_k$ として、$k$ が無限大に近づくと$X$ の分布は正規分布に近づくが、近づき方はゆっくりしている （歪度$\sqrt{8/k}$ 、尖度$12/k$ ）ため、$X$自体より速く正規分布に近づく次の2つの方法が普通用いられる。

• $\sqrt{2X}$ は近似的に平均 $\sqrt{2k-1}$ 、分散1の正規分布に従う（R.A.フィッシャー）。
• $\sqrt[3]{X/k}$ は近似的に平均 $1-2/(9k)$ 、分散 $2/(9k)$の正規分布に従う（ウィルソンとヒルファティ、1931年）。

関連項目

• 確率分布
• カイ二乗検定
• 非心カイ二乗分布