切断正規分布

切断正規分布 (せつだんせいきぶんぷ) は正規分布と似ているが、確率変数 $x$ の定義域が有限な確率分布である。 上下とも有界 ($A\le x\le B$) なものを二重に切断された正規分布、どちらか一方だけのものを単一切断正規分布という。

定義と性質

切断正規分布の確率密度関数は以下で定義される。

$f(x;\mu,\sigma, a,b) = \frac{\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{x - \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a - \mu}{\sigma}) }$

ここで $\scriptstyle{\phi(\cdot)} \$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ の確率密度関数、 $\scriptstyle{\Phi(\cdot)} \$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ の累積分布関数である。

モーメント

切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、

$E(X|A<X<B) = \mu + \frac{\phi(\frac{a-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}\sigma\!$

$Var(X|A<X<B) = \sigma^2\left[1+\frac{\frac{a-\mu}{\sigma}\phi(\frac{a-\mu}{\sigma})-\frac{b-\mu}{\sigma}\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})} -\left(\frac{\phi(\frac{a-\mu}{\sigma})-\phi(\frac{b-\mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})}\right)^2\right]\!$

であり、単一切断正規分布の場合は

$E(X|X>A) = \mu +\frac{\sigma}{R\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)}$

$Var(X|X>A) =\sigma^2\left[1+\frac{\frac{A-\mu}{\sigma}}{R\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)}-\left\{\frac{1}{R\left(\frac{A-\mu}{\sigma}\right)}\right\}^2\right]$

である。ここで

$R\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\frac{1-\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}{\phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)}$

は、ミルズ比である。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).

関連項目

• 確率分布