負の二項分布

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負の二項分布(ふのにこうぶんぷ)とは、確率分布の一種で、二項分布の拡張。

複数の意味[編集]

負の二項分布は、文献によって異なった意味で使われることがある。

  • 統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったとき、r 回の「成功」を得るのに必要な試行回数の分布。
  • 同様に統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったときに、r 回の「成功」をする前に失敗した試行回数の分布。
  • 数学的に、2 番目の意味でのベルヌーイ試行の r を整数から実数に拡張して考えるもの。

パラメータ[編集]

負の二項分布は、二つのパラメータを持つ。成功回数を表す定数 r と、おのおのの試行で成功する確率 p である。r は、正の整数で、p は、0 から 1 までの実数である。r = 1 であるときは、幾何分布になる。普通は r を正の整数とするが、数学的な拡張から、r を整数と扱わないこともある。

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上記のように三つの意味があるので、ここでは最初の意味に絞って解説する。最初の意味では、負の二項分布とは、おのおのの試行で成功する確率が p である独立なベルヌーイ試行を続けておこなったとき、r 回の成功を得るのに必要な試行回数であった。

パラメータ : 成功回数 r は、整数で、1 ≤ r とする。r = 1 のときの負の二項分布を幾何分布という。おのおのの試行で成功する確率 p は、0 < p < 1 である実数である。

  • 確率分布関数 r 回の成功を x 回目の試行で達成する確率
    f(x)=P(X=x) = {x-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{x-r}
  • 累積分布関数 r 回の成功を、x 回目かそれ以前に達成する確率 : 単純な解法は存在しないが、正規化された不完全なベータ関数を使って計算することができる。二項分布
  • 期待値 E(X) = r / p.
  • 分散 var(X) = σ2 = r(1 − p) / p2.

関連項目[編集]