負の二項分布

負の二項分布（ふのにこうぶんぷ）とは、確率分布の一種で、二項分布の拡張。

複数の意味

負の二項分布は、文献によって異なった意味で使われることがある。

• 統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったとき、r 回の「成功」を得るのに必要な試行回数の分布。

• 同様に統計的に独立なベルヌーイ試行を行ったときに、r 回の「成功」をする前に失敗した試行回数の分布。

• 数学的に、2 番目の意味でのベルヌーイ試行の r を整数から実数に拡張して考えるもの。

パラメータ

負の二項分布は、二つのパラメータを持つ。成功回数を表す定数 r と、おのおのの試行で成功する確率 p である。r は、正の整数で、p は、0 から 1 までの実数である。r = 1 であるときは、幾何分布になる。普通は r を正の整数とするが、数学的な拡張から、r を整数と扱わないこともある。

式

上記のように三つの意味があるので、ここでは最初の意味に絞って解説する。最初の意味では、負の二項分布とは、おのおのの試行で成功する確率が p である独立なベルヌーイ試行を続けておこなったとき、r 回の成功を得るのに必要な試行回数であった。したがって、

• パラメータ : 成功回数 r　は、整数で、1 ≤ r とする。r = 1 のときの負の二項分布を幾何分布という。

おのおのの試行で成功する確率 p は、0 < p < 1 である実数である。

• 確率分布関数 f(x) = P(X = x) = r 回の成功を x 回目の試行で達成する確率は、

  $f(x)={x-1 \choose r-1} p^r (1-p)^{x-r}$

（二項定理を参照）。

• 累積分布関数 F(x) = P(X ≤ x) = r 回の成功を、x 回目かそれ以前に達成する確率 : 単純な解法は存在しないが、正規化された不完全なベータ関数を使って計算することができる。二項分布

期待値 E(X) = r(1-p) / p.

分散 var(X) = σ² = r(1 − p) / p².

関連項目

• ベルヌーイ過程