ベルヌーイ過程

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ベルヌーイ過程(ベルヌーイかてい、: Bernoulli process)は、2つの値を取る独立な確率変数列からなる離散時間確率過程である。ベルヌーイ過程とは、いわばコイントスであり、そのコインは必ずしも公平なものとは限らない。このような確率過程における確率変数をベルヌーイ変数(Bernoulli variable)と呼ぶ。

定義[編集]

ベルヌーイ過程は、離散時間確率過程であり、有限または無限の独立な確率変数X1, X2, X3,... からなる。この確率変数列について、次が成り立つ。

  • それぞれの i について、Xi の値は 0 か 1 である。
  • i の全ての値について、Xi = 1 となる確率 p は常に同じである。

換言すれば、ベルヌーイ過程は独立していて確率分布が同じなベルヌーイ試行の列である。個々の Xi のとりうる2つの値を「成功; success」と「失敗; failure」と呼ぶこともある。0 か 1 で表されたとき、その値は i 番目の「試行」についての成功回数を表しているともいえる。個々の成功/失敗の変数 Xiベルヌーイ試行と呼ばれる。

ベルヌーイ試行の独立性には、メモリレス性という属性も含まれる。すなわち、過去の試行の結果は将来の結果について何の情報ももたらさない。任意の時点からの将来の試行は、過去に対してもベルヌーイ試行独立である(これをフレッシュスタート属性と呼ぶ)。

ベルヌーイ過程における確率変数には、以下の特徴がある。

  • 最初の n 回の試行における成功回数は、二項分布である。
  • r 回の成功を得るのに必要な試行回数は、負の二項分布である。
  • 1回の成功を得るのに必要な試行回数は、幾何分布であり、これは負の二項分布の特殊ケースである。

有限個のベルヌーイ試行の標本だけを元に、そのベルヌーイ過程の性質を特定する問題を "checking if a coin is fair"(コインの公平性問題)と呼ぶ。

形式的定義[編集]

ベルヌーイ過程は、確率空間の言語で形式化される。ベルヌーイ過程は、集合 \{0,1\} に関する確率変数 X を伴う確率空間 (\Omega, Pr) であり、全ての \omega \in\Omega について、確率 pX_i(\omega)=1 となり、確率 1-pX_i(\omega)=0 となる。

ベルヌーイ列[編集]

確率空間 (\Omega, Pr) 上に定義されたベルヌーイ過程があるとき、\omega \in \Omega 毎に次の整数のが対応する。

\mathbb{Z}^\omega = \{n\in \mathbb{Z} : X_n(\omega) = 1 \}

これをベルヌーイ列(Bernoulli sequence)と呼ぶ。従って例えば、\omega がコイントスの列を表すとき、そのベルヌーイ過程はコイントスの結果を整数の列で表したものである。

ほとんど全てのベルヌーイ列は、エルゴード列である。

ベルヌーイマップ[編集]

全ての試行は2つの値のいずれかをとるので、試行の列は実数二進記数法で表したものと見ることもできる。確率 p が 1/2 なら、全ての2進数列が同じ確率で生成され、ベルヌーイ過程の完全加法族測度は、単位区間における一様測度と等価である。換言すれば、それら実数は単位区間上に一様に分布する。

シフト作用素 T は、次のように各確率変数の次(の確率変数)を与える。

TX_i=X_{i+1}

これは、次のベルヌーイマップ(Bernoulli map)により与えられる。

b(z)=2z-\lfloor 2z \rfloor

ここで z\in[0,1] は測定列を表し、\lfloor z \rfloor床関数(すなわち、z を超えない最大の整数)を表す。ベルヌーイマップは本質的に z を2進数表現と見たときの小数点以下に対応する。

ベルヌーイマップは決定性カオスの正確な可解モデルである。ベルヌーイマップの transfer operator は可解である。その固有値は 1/2 の倍数であり、固有関数はベルヌーイ多項式である。

ベルヌーイ系[編集]

ベルヌーイ過程を3つ以上の値をとるよう一般化したものをベルヌーイ系と呼ぶ。

参考文献[編集]

  • Carl W. Helstrom, Probability and Stochastic Processes for Engineers, (1984) Macmillan Publishing Company, New York ISBN 0-02-353560-1.
  • Dimitri P. Bertsekas and John N. Tsitsiklis, Introduction to Probability, (2002) Athena Scientific, Massachusetts ISBN 1-886529-40-X
  • Pierre Gaspard, "r-adic one-dimensional maps and the Euler summation formula", Journal of Physics A, 25 (letter) L483-L485 (1992). (Describes the eigenfunctions of the transfer operator for the Bernoulli map)
  • Dean J. Driebe, Fully Chaotic Maps and Broken Time Symmetry, (1999) Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherlands ISBN 0-7923-5564-4 (Chapters 2, 3 and 4 review the Ruelle resonances and subdynamics formalism for solving the Bernoulli map).