ベイズの定理

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ベイズの定理（ベイズのていり, Bayes' theorem ）とは、1763年に発表された確率論の定理である。今日では、いくつかの未観測要素を含むコンピュータによる推論等に応用され、迷惑メールの発見・分類といった作業の自動化（フィルタリング）といった情報工学上の情報ふるい分けに利用されている。

[編集] 概要

P(B) = 事象Bが発生する確率（事前確率, prior probability）
P(B|A) = 事象Aが起きた後での、事象Bの確率（事後確率, posterior probability）

とする。ベイズの定理によれば、P(A) > 0 の条件のもと、

$\bold{}P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

が成り立つ。

ベイズの定理は、ある結果（データ）が得られた時、その結果を反映した下での事後確率を求めるのに使われている。定理はイギリスの牧師トーマス・ベイズ（1702年(?) - 1761年）によって発見され、のちにピエール＝シモン・ラプラスによってその存在が広く認識されるようになった。

なお、ベイズの定理を本格的に使う理論体系がベイズ統計学やベイズ決定理論と呼ばれる分野である。

[編集] 批判

ベイズの定理は事前確率および尤度を仮定した下で事後確率を与える、というあくまで相対的なメカニズムを表わした定理にすぎない。したがって事後確率の計算結果の信憑性や有用性は、事前分布と尤度の設定にかかっており、慎重を期すことが必要である。これはベイズの定理を含むベイズ統計学が、不確実性を含む問題を人によって異なる確率を用いて定式化することを許容する主観確率 (subjective probability) という立場をとっていることによる。この立場はまだ解析対象となっていない新たな問題へのアプローチを可能にするという利点がある一方で、確率の決め方について客観性に欠けるという批判もある（客観確率）。

[編集] ベイズの定理の応用

ベイズの定理を逆に見て、事象Aが発生したときに、Bが発生していた確率 P(B|A) を知りたい場合に使われることもある。

たとえば、ある年齢で癌である確率 P(B₁) と癌でない確率 P(B₂) 、癌である人が検査で陽性と出る確率 P(A|B₁)、癌でない人が検査で陽性と出る確率 P(A|B₂) を統計調査を元に求めておけば、この検査を行って陽性と出た人が癌である確率は P(B₁|A) によって求められるのである。癌であるかどうかが陽性かどうかという検査結果の確率を決めているものの、ベイズの定理は検査結果から癌であるかどうかの確率を求めていることになる。

[編集] 行動科学への応用

行動における認知と、認知科学はこの点を明確にして社会心理学の領域におけるベイズの定理の応用の実例がある。

行動科学においては危険の認知において、不確実な状態を想定する。従って何度も飛行機に乗ってみて、危険性の確率を毎回変えていくことになる。一方認知心理学は認知において危険であるとの認識が正しいと考えれば行動を中止する。この場合の認識は最初から与えられた事前的に確定した危険の確率を想定していることになる。従って飛行機に乗ることをやめる確率は、自動車で行った場合の方がより危険性の確率が低いと考えられる場合である。

ところが行動心理学においては何度も飛行機にのることを経験するごとに、自動車に乗ることよりも危険の確率が低いことを知ることによって飛行機を利用するという選択を行うことになる。

[編集] 経営科学への応用

社会科学において行動科学の発達によって、特に意思決定がどのように行われるのか、リスクの管理がどのように行われるのかについての研究が進んできた。経営科学や、政治学の科学化は行動科学の領域を拡大させたがその際にベイズの定理が応用されることになった。

一例として統計学者森田優三が挙げる例は、融資の実行において融資先の調査が精緻になされた場合には危険性が除去されることによって実際的に倒産の危険性が少なくなったという証明にベイズの定理を使うことができるという証明の問題を挙げて説明している。この場合には融資先調査によって事前確率は事後確率をより少なくするのに効果があったという証明になっているとしている。倒産の危険性は限定された融資先に投資することによって確かに少なくなったという証明が有意に行うことができるであろう。しかしそれを数字的に何%少なくなった、その他の方法がよかったかもしれないということに応用的に科学的に証明するために統計学は使われることが可能である。その際にこのベイズの定理は唯一有意に証明するものである。

これを伝統的統計学では一社会における倒産の確率を求めることができるが、事前確率は事後確率を大きく上回っていたが、それは融資先の調査を行わなかったからであるという結論を出すことはできない。その原因としての融資先の調査が直接に倒産の確率を下回らせたということはまた経験的なものであるが、しかしその有意さが大きければ大きいほどそれが原因で倒産の確率は少なくなったということはできる。経済が好転したという原因も差し挟むことができるが、これまでの伝統的統計的経営経済学がそのようなものを一切把握できなかったのに比べれば、統計学の飛躍的発展とみなさざるをえないであろう。

ベイズの定理の社会科学上の有意性はこのように結果からその原因がどこにあったのかを判定できる点にあり、結果の原因を、尤度のような事前の感覚的なものではなくて科学的な数字によって判定できるという点にある。これは社会科学の大きな進歩に通じうるといえる。

これは法学的には証拠論について応用の範囲が大きく、また労働者の絶対的貧窮化を本当に証明できるのかというときなどの原因の追求に使用できる。黒人であっても、貧乏な生活環境にあっても努力によって、あるいは倒産しそうな企業が、よくできたビジネス上の計画によって、事態を解決できる状態にあるのかどうかなどの判定にも使うことができる。ビジネススクールの教育の有用性を増すためになどの教育学上の判定にも使うことができる。

[編集] 政治学への応用

このような経営科学の側面を政治学にも応用しようとするのが政治学の行動科学化を主張しているアメリカの政治学である。内田満は「日本政治学の一源流」の中で「ローウェルは、1920年代の「新しい政治学」の先行者として、また今日の行動科学運動の知的発達として、メリアムと同列におかれる」（ソミット、ターネンハウス）のことばによって、ローウェルとメリアムとをもって行動科学運動が1920年代に始まったことを紹介している。メリアムは諸科学と政治学との「異花受精”cross-fertilization”」と「共同的作業」を主張したのである。

なお、社会科学の領域ではベイズの定理を紹介した鈴木雪夫によれば、日本の統計学とは違い、アメリカではベイズの定理の研究者が伝統的統計学の研究者よりもずっと多いが、日本ではまったく逆になっているとしている。

[編集] 情報工学への応用

コンピューターの分野においてはMozilla Thunderbirdは迷惑メールの判定にベイズの定理を使用している。

[編集] 関連項目