ベイズの定理

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ベイズの定理(ベイズのていり、: Bayes' theorem)とは、条件付き確率に関して成り立つ定理で、トーマス・ベイズによって示された。

ベイズ統計学においては基礎として利用され、いくつかの未観測要素を含む推論等に応用される。

ベイズの定理[編集]

一般に、確率および条件付き確率に関して、下記の恒等式が成り立つ。

\bold{}P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}

この定理はイギリスの牧師トーマス・ベイズ1702年(?) - 1761年)によって発見され、ベイズの死後にリチャード・プライスによって1763年に発表され[1]、後にピエール=シモン・ラプラスによってその存在が広く認識されるようになった。

ベイズ統計学におけるベイズの定理[編集]

ベイズの定理と組み合わせて確率的推論を行う方法がラブラスによって始められ、現在言うところのベイズ統計学の端緒となった。事象の確率という考え方を採用する特徴がある。

現在は例えば、迷惑メールの発見・分類といった作業のコンピュータを用いた自動化(フィルタリング)等の情報工学上の情報ふるい分けにも利用されている。

概要[編集]

事象Bのベイズ確率について、

  • P(B) = 事象Aが起きる前の、事象Bの確率(事前確率, prior probability)
  • P(B|A) = 事象Aが起きた後での、事象Bの確率(事後確率条件付き確率, posterior probability,conditional probability)

とする。 ベイズの定理を使えば、事後確率 P(B|A) は下記に従って計算される。

\bold{}P(B|A) = \frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}

すなわち、事象Aに関するある結果(データ)が得られたとすると、それを反映し、尤度P(A|B) の乗算によって、事象Bの確率は事前確率から事後確率へと更新される。なお事象Bの確率の観点からは、P(A) は規格化定数としての意味しかない。

ベイズ統計学(およびベイズ決定理論)は上記の手続きにその基礎をおき、名前の由来ともなっている。

批判[編集]

ベイズ統計学では、事象の確率という考え方を採用し、必ずしも頻度には基づかない確率を「確率」として見なす。

またベイズの定理を用い、事前確率及び尤度を仮定した下で事後確率を与える、という相対的なメカニズムを主張している。したがって事後確率の計算結果の信憑性や有用性は、事前分布と尤度の設定にかかっており、慎重を期すことが必要である。これはベイズ統計学が、不確実性を含む問題を人によって異なる確率を用いて定式化することを許容する主観確率 (subjective probability) という立場をとっていることによる。この立場はまだ解析対象となっていない新たな問題へのアプローチを可能にするという利点がある一方で、確率の決め方について客観性に欠けるという批判もある(客観確率)。

脚注[編集]

関連項目[編集]

外部リンク[編集]