3囚人問題

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3囚人問題(3しゅうじんもんだい、: Three Prisoners problem)は、確率論の問題で、1959年、マーティン・ガードナーによって紹介された。ベルトランの箱のパラドクス(en:Bertrand's box paradox)を下敷きにしていると考えられている。

問題自体は簡単なように見えるものの、確率計算の結果が人間の直感と全く異なるため、これまで多くの研究がなされている。特に日本の心理学(認知心理学)分野において盛んに研究され、非常に多くの著書、論説、学会発表がある(#参考文献を参照)。

概要[編集]

ある監獄にA、B、Cという3人の囚人がいて、それぞれ独房に入れられている。罪状はいずれも似たりよったりで、近々3人まとめて処刑される予定になっている。ところが恩赦が出て3人のうち1人だけ助かることになったという。誰が恩赦になるかは明かされておらず、それぞれの囚人が「私は助かるのか?」と聞いても看守は答えない。

囚人Aは一計を案じ、看守に向かってこう頼んだ。「私以外の2人のうち少なくとも1人は死刑になるはずだ。その者の名前が知りたい。私のことじゃないんだから教えてくれてもよいだろう?」すると看守は「Bは死刑になる」と教えてくれた。それを聞いた囚人Aは「これで助かる確率が1/3から1/2に上がった」とひそかに喜んだ。果たして囚人Aが喜んだのは正しいか?

解法[編集]

ベイズの定理による解では、「BかCが助かる確率」は看守の回答の前後で2/3のまま変化していないため、Bの死刑が確定しても、Cが助かる確率が2/3へ変化し、Aが助かる確率は1/3のまま変化しない。

上記の解が成立するには、BCともに死刑になる(Aが恩赦になる)場合、「Bは死刑になる」と答える場合と「Cは死刑になる」と答える場合が等確率で起こらなければならない。この重要な条件を明記せず曖昧にしておくことがこの問題を分かりにくくしている原因なのである。 この条件を無くし看守の任意に委ねると、BCともに死刑になる確率は、必ずBと答える場合の最大値1/2、必ずCと答える場合の最小値0の間で変動する。

表に表すと、例えば次のようになる。考えられる組み合わせ9通りが看守の回答後は3通りに減ったが、結局Aが恩赦になる確率は変わっていない。

A B C 恩赦確率 看守の回答 回答が得られる確率 全体の確率
恩赦 死刑 死刑 1/3 「Bは死刑になる」 1/2 1/6 *
「Cは死刑になる」 1/2 1/6
死刑 恩赦 死刑 1/3 「Bは死刑になる」 0 0 *
「Cは死刑になる」 1 1/3
死刑 死刑 恩赦 1/3 「Bは死刑になる」 1 1/3 *
「Cは死刑になる」 0 0
1 1

モンティ・ホール問題との類似[編集]

モンティ・ホール問題の「ドア」が3囚人問題における「囚人」、「当たりのドア」が「恩赦」に対応しており、等価な問題であることが分かる。モンティ・ホール問題と異なるのは、看守がどのような回答をしたとしても、Aにはその回答を変える(AからCへと立場を変える)ことができないという点であるが、解法上の都合で(モンティ・ホール問題に似せるため)入れ替わりが追加されていることがある。

例えば、100人のうち1人だけが恩赦であるケースを考えると、Aが自分以外の99人のうち98人の死刑を知り、Bだけが恩赦か不明であると聞かされた場合、Bを含む99人の恩赦確率は100分の99から変化していないため、Bの恩赦の確率だけが100分の99へと変化していることになる。

この場合も、例えば、Aが恩赦であった場合には、看守が残り99人の囚人から98人を選ぶ99通りの組み合わせはランダムに選ぶこととするというような前提が必要である。看守が残り99人の囚人から98人を選ぶ99通りの組み合わせについて看守が選択する確率が変化するのであれば、Aの恩赦の確率は0から1/2の間で変化する。逆に言えば、Bの恩赦の確率も1から1/2の間で変化する。

変形問題[編集]

囚人が恩赦になる確率を変えた変形問題が考案されている[1]

例えば、恩赦になる確率だけをそれぞれ1/4、1/4、1/2に変えると、看守が「Bは死刑になる」と答えることでAの恩赦確率は1/5とかえって低下してしまう。なお、数学的には『仮にAが恩赦になる場合に「Bは死刑になる」「Cは死刑になる」のどちらも1/2の確率で選ばれる』を、恩赦になる確率と同じ割合(1/4:1/2)で選ばれる、と変えてAの恩赦確率は1/4のまま変化しないとするのが正しいという。

心理学の題材として[編集]

直感的・主観的に捉えた確率と確率計算の結果が一致しないのはなぜか、さらに、解答を説明されて理解しても納得できないのはなぜか、という研究が認知心理学の研究分野で行われ、日本認知科学会でも1980年代、盛んに取り上げられた。

日本でも、Aは正しい(助かる確率は1/2)とする人が多数を占め、まちがい(助かる確率は1/3)とした人も、確率論に基づいて判断したわけではなく、単に看守の回答は確率に影響しないと考えた者が多かった。 そこで、確率論に関する解説と計算結果を示して説明すると、納得する者としない者に分かれる。さらにいったん納得した者も、変形問題を示されると再び悩み出す傾向が見られた。

ある研究で行われた文系大学生へのアンケート[2](n=142)結果では、回答者の76%が1/2、14%が1/3と解答している。しかし、別のアンケートで確率は統計に基づくことを説明するヒントを載せたところ、この比率は逆転した。

問題の曖昧さのため複数の解が存在する場合、多くの人が自分(主人公)にとって最も有利なものを採用しているのである。

参考資料[編集]

  1. ^ 市川伸一 『確率の理解を探る――3囚人問題とその周辺』 日本認知科学会編、共立出版〈認知科学モノグラフ 10〉、1998年5月。ISBN 4-320-02860-0
  2. ^ 小林厚子「確率判断の認知心理」、『東京成徳大学研究紀要』第5号、東京成徳大学1998年ISSN 1340-3702

参考文献[編集]

  • 市川伸一下条信輔「直感的推論における"主観的定理"――"3囚人の問題"の解決過程の分析から」、『日本認知科学会大会発表論文集』第3回、日本認知科学会、1986年、 p. 14。
  • 市川伸一「3囚人問題の解決と理解の過程をめぐって」、『認知科学の発展』第1巻、講談社、1988年、 pp. 1-32。
  • 市川伸一「3囚人問題の困難性――抽象記述による解明――」、『日本認知科学会R&I研究分科会資料』第88巻第2号、講談社、1989年、 pp. 1-12。
  • Ichikawa, S. (1989). “The role of isomorphic schematic representation in the comprehension of counterintuitive Bayesian problems”. Journal of Mathematical Behavior (ELSEVIER) 8: pp. 269-281. ISSN 0732-3123. 
  • 市川伸一下條信輔「第4回日本認知心理学会独創賞記念論文 3囚人問題研究の展開と意義をふり返って」、『認知心理学研究』第7巻第2号、日本認知心理学会、2010年2月、 pp. 137-145、 ISSN 1348-7264
  • 伊東裕司「3囚人問題の解決における頻度モデルの役割」、『日本認知科学会テクニカルレポート』第19巻、日本認知科学会、1991年、 pp. 1-12。
  • 井原二郎「「3囚人問題」に関する直感の数理モデル」、『日本認知科学会大会発表論文集』第4回、日本認知科学会、1987年、 pp. 24-25。
  • 遠藤秀機門田良信貴志一男「初歩の確率・統計から見た「3囚人問題」」、『和歌山大学教育学部紀要. 教育科学』第41巻第3号、和歌山大学教育学部、1992年2月、 pp. 11-20、 ISSN 1342-5331
  • 葛西俊治園信太郎「「3囚人問題」に関する確率判断研究について」、『北海道工業大学研究紀要』、北海道工業大学、1990年3月、 pp. 229-236、 ISSN 0385-0862
  • 佐伯胖「「3囚人問題」に関する視点論的分析」、『日本認知科学会大会発表論文集』第4回、日本認知科学会、1987年、 pp. 26-27。
  • 式見拓仙「3囚人問題再考」、『経営と経済』第87巻第3号、長崎大学経済学会、2007年12月、 pp. 55-66、 ISSN 0286-9101
  • 繁枡算男 『ベイズ統計入門』 東京大学出版会、1985年4月。ISBN 4-13-042061-5
  • 繁枡算男「「3囚人問題」の具体化について」、『日本心理学会大会発表論文集』第51回、日本心理学会大会準備委員会、1987年3月、 p. 337。
  • 竹市博臣「3囚人問題の認知構造」、『日本認知科学会大会発表論文集』第5回、日本認知科学会、1988年、 pp. 90-91。
  • 藤本浩明小島亜希子「モンティ・ホールのジレンマと3囚人問題に関するベイズ分析」、『福岡大学経済学論叢』第45巻第2号、福岡大学研究推進部、2000年9月、 pp. 81-106、 ISSN 0285-2772
  • 南学森敏昭「確率判断課題における直観的理解と論理的理解――「3囚人問題」に対する教授的介入の効果」、『広島大学教育学部紀要 第一部, 心理学』、広島大学教育学部、 pp. 49-57、 ISSN 0919-8652
  • 守一雄「「3囚人問題」はなぜ難しいか」、『信州大学教育学部紀要』第62号、信州大学教育学部、1988年3月、 pp. 45-50、 ISSN 0373-7381
  • 守一雄「確率推定問題はなぜ難しいか――「3囚人問題」をめぐって」、『信州大学教育学部紀要』、信州大学教育学部、1988年8月、 pp. 21-30、 ISSN 0373-7381
  • 守一雄「「3囚人問題」を難しくしている真の要因――「同時に2つ以上の事柄が生起する事態」と「対象を制限した質問がなされる事態」のもつ理解の困難さの実験的検討」、『信州大学教育学部紀要』、信州大学教育学部、1989年8月、 pp. 81-86、 ISSN 0373-7381
  • Lindley, Dennis V. (September 1991) [1971]. Making Decisions (2nd ed.). John Wiley. ISBN 0-471-90808-8. 

関連項目[編集]