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ラプラス原理 （ラプラスげんり、英 : Laplace principle, Laplace's principle ）は大偏差原理 （英語版 ） ヴァラダンの補題 （英語版 ） A 上の exp(−θφ (x )) のルベーグ積分 が、θ を大きくしていったときにどのような漸近的な振る舞いを見せるかについて述べる。実際の例としては、統計力学 において逆温度 を無限大する極限、すなわち温度 が絶対零度 に近づくとき、その系がどのように振る舞うかを議論する際に、ラプラス原理が用いられている。
ステートメント [ 編集 ] A をルベーグ可測 な d 次元のユークリッド空間 R d 部分集合 とし、可測関数 φ : R d R
∫
A
e
−
φ
(
x
)
d
x
<
+
∞
{\displaystyle \int _{A}e^{-\varphi (x)}\,\mathrm {d} x<+\infty }
であるとする。このとき、以下の関係が成り立つ。
lim
θ
→
+
∞
1
θ
log
∫
A
e
−
θ
φ
(
x
)
d
x
=
−
e
s
s
i
n
f
x
∈
A
φ
(
x
)
.
{\displaystyle \lim _{\theta \to +\infty }{\frac {1}{\theta }}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x).}
ここで ess inf は本質的下限 (essential infimum) を表す。充分大きな θ について、上の関係から次のような漸近表現が得られる。
∫
A
e
−
θ
φ
(
x
)
d
x
≈
exp
(
−
θ
e
s
s
i
n
f
x
∈
A
φ
(
x
)
)
.
{\displaystyle \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\approx \exp \left(-\theta \mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}\varphi (x)\right).}
ラプラス原理は以下に与える確率測度 P θ 族
P
θ
(
A
)
=
(
∫
A
e
−
θ
φ
(
x
)
d
x
)
/
(
∫
R
d
e
−
θ
φ
(
y
)
d
y
)
.
{\displaystyle \mathbf {P} _{\theta }(A)=\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,\mathrm {d} x\right){\Big /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}e^{-\theta \varphi (y)}\,\mathrm {d} y\right).}
に対して適用すれば、θ を大きくした場合の、ある事象（集合）A に対する確率の漸近表現を与えることができる。
たとえば X を R 正規分布 する確率変数 とすると、すべての可測集合 A について
lim
ε
↓
0
ε
log
P
[
ε
X
∈
A
]
=
−
e
s
s
i
n
f
x
∈
A
x
2
2
{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}
という関係が成り立つ。
参考文献 [ 編集 ] Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Large deviations techniques and applications . Applications of Mathematics (New York) 38 (Second edition ed.). New York: Springer-Verlag. pp. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 MR 1619036 関連項目 [ 編集 ] 
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon }}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf} } _{x\in A}{\frac {x^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8959a17bbc812b78901068ab669b8e61ef7fd52)
