幾何ブラウン運動

幾何ブラウン運動 (きかぶらうんうんどう、英: geometric (fractional) Brownian motion (GBM)) は、対数変動が平均μ分散σのブラウン運動にしたがう連続時間の 確率過程で、金融市場に関するモデルや、金融工学におけるオプション価格のモデルでよく利用されている。GBMの増分が S_t に対する比として表されることから幾何(geometric)の名称がつけられている。

定義

次の確率微分方程式にしたがう確率過程 S_t を幾何ブラウン運動という。

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t$

ここで、

dS_t は 増分。　例：金融商品の価格の変化。

dB_t は ブラウン運動の増分。

μは(現在の S_t に対する割合であらわした)平均。

σは(現在の S_t に対する割合であらわした)ボラティリティ。

上記の確率微分方程式は伊藤の公式をもちいて次のように書き換えることができる。

$d\log{S_t} = \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) \,dt + \sigma \,dB_t$

解

初期値を S₀ とすると、解は次のように表せる。

$S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma B_t\right),$

統計的性質

幾何ブラウン運動の確率変数 log(S_t /S₀) は、平均(μ-σ²/2)t 分散 σ²t の対数正規分布にしたがい、その平均と分散は以下のように表せる。

平均

$\mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0$

分散

$\operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).$

非整数ブラウン運動への拡張

ブラウン運動 B_t を非整数ブラウン運動 B_H,t にまで拡張した時の確率微分方程式は

$dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_{H,t}$

となる。ここで、dB_H,t はハースト指数 H の非整数ブラウン運動の増分。

解は、

$S_t = S_0\exp\left( \mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^{2H} + \sigma B_{H,t}\right),$

となる。

関連項目

• ブラック-ショールズ方程式
• 確率的ボラティリティモデル (en:Stochastic Volatility)