ディリクレ分布

ディリクレ分布

確率密度関数 ディリクレ分布(K=3)の、様々なパラメータベクトルαにおける確率密度関数。左上から時計回りにα=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4)。
累積分布関数 なし
母数	$K >= 2$ 変量の個数 (整数) $\alpha_1, \ldots, \alpha_K$ 集中度母数, ここで $\alpha_i > 0$
台	$x_1, \ldots, x_K$ 、ここで、 $x_i \in [0,1]$ かつ $\sum x_i = 1$
確率密度関数	$\frac{1}{\mathrm{B}(\boldsymbol\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1}$ ここで、 $\mathrm{B}(\boldsymbol\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\bigl(\sum_{i=1}^K \alpha_i\bigr)}$ $\boldsymbol\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$
期待値	$\operatorname{E}[X_i] = \frac{\alpha_i}{\sum_k \alpha_k}$ $\operatorname{E}[\ln X_i] = \psi(\alpha_i)-\psi(\textstyle\sum_k \alpha_k)$ (ここで、ψ(・)はディガンマ関数)
最頻値	$x_i = \frac{\alpha_i - 1}{\sum_{i=1}^K\alpha_i - K}, \quad \alpha_i > 1.$
分散	$\mathrm{Var}[X_i] = \frac{\alpha_i (\alpha_0-\alpha_i)}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)},$ where $\alpha_0 = \sum_{i=1}^k\alpha_i$ $\mathrm{Cov}[X_i,X_j] = \frac{- \alpha_i \alpha_j}{\alpha_0^2 (\alpha_0+1)}~~(i\neq j)$
エントロピー	(see en:Dirichlet distribution#Entropy)

ディリクレ分布（ディリクレぶんぷ、Dirichlet distribution）は、連続型の確率分布である。ベータ分布を多変量に拡張して一般化した形をしており、そのため多変量ベータ分布とも呼ばれる。ディリクレ分布の確率密度関数は、同時に発生することのない $K$ 個の事象がそれぞれ $\alpha_i-1$ 回発生したときに、各事象の起こる確率が $x_i$ である確率を与える（ただし、$\alpha_i$は整数である必要はない）。つまり、試行の回数が無限大なら各事象の発生の相対頻度は $x_i$ になるが、試行回数が有限だと、そこにずれが生じる。そのずれを表すモデルである。

定義と性質

$\vec{\alpha}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_K)$ をパラメータ、実数ベクトル $\vec{x}=(x_1,\ldots,x_K)$ を確率変数 とするときの$K-1$次のディリクレ分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

$P(\vec{x};\vec{\alpha})=\frac{1}{Z}\prod_{i=1}^Kx_i^{\alpha_i-1}$

ここで $x_i\ge 0$、$\sum x_i=1$、$\alpha_i > 0$ であり、$Z$ は多変量に拡張したベータ関数で、以下の式で定義される。

$Z=\frac{\prod_{i=1}^K\Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^K\alpha_i)}$

このとき、$x_i$ の期待値は $\frac{\alpha_i}{\sum_{i=1}^K\alpha_i}$、同じく分散は $\frac{\alpha_i\sum_{j\neq i}\alpha_j}{(\sum_{i=1}^K\alpha_i)^2(1+\sum_{i=1}^K\alpha_i)}$ である。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• ベータ分布
• 多項分布　ディリクレ分布は多項分布の共役事前分布。
• 確率分布
• ディリクレ過程

外部リンク

• Generalized Dirichlet distribution
• 朱鷺の杜Wiki
• GSL reference manual Japanese version