レイリー分布

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レイリー分布
確率密度関数
Plot of the Rayleigh PDF
累積分布関数
Plot of the Rayleigh CDF
母数 \sigma>0\,
x\in [0;\infty)
確率密度関数 \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}
累積分布関数 1 - e^{-x^2/2\sigma^2}
期待値 \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}
中央値 \sigma\sqrt{\ln(4)}\,
最頻値 \sigma\,
分散 \frac{4 - \pi}{2} \sigma^2
歪度 \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}
尖度 -\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}
エントロピー 1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}
モーメント母関数 \begin{matrix}1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2} \\
 \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)\end{matrix}
特性関数 \begin{matrix}1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2} \\
 \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)\end{matrix}
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レイリー分布(レイリーぶんぷ、英:Rayleigh distribution)は、連続型確率分布である。物理学で有名なレイリー卿によって名付けられた。

定義と性質[編集]

確率変数を実数 x (0\le x) とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)

期待値は \sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}、分散は \left(2-\frac{\pi}{2}\right)\sigma^2 である。

確率変数の観測値が X_i として得られたとき、パラメータ \sigma の最尤推定値は

\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^nX_i^2}

である。

参考文献[編集]

  • 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
  • B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目[編集]

外部リンク[編集]