レイリー分布

レイリー分布（レイリーぶんぷ、英:Rayleigh distribution）は、連続型の確率分布である。物理学で有名なレイリー卿によって名付けられた。

定義と性質 [編集]

確率変数を実数 $x (0\le x)$ とするときのレイリー分布の確率密度関数は以下の式で定義される。

$\frac{x}{\sigma^2}\exp(-\frac{x^2}{2\sigma^2})$

期待値は $\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}$ 、分散は $(2-\frac{\pi}{2})\sigma^2$ である。

確率変数の観測値が $X_i$ として得られたとき、パラメータ $\sigma$ の最尤推定値は

$\hat{\sigma}=\sqrt{\frac{1}{2n}\sum_{i=1}^nX_i^2}$

である。

レイリー分布
確率密度関数
累積分布関数
母数	$\sigma>0\,$
台	$x\in [0;\infty)$
確率密度関数	$\frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/2\sigma^2}$
累積分布関数	$1 - e^{-x^2/2\sigma^2}$
期待値	$\sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}$
中央値	$\sigma\sqrt{\ln(4)}\,$
最頻値	$\sigma\,$
分散	$\frac{4 - \pi}{2} \sigma^2$
歪度	$\frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4-\pi)^{3/2}}$
尖度	$-\frac{6\pi^2 - 24\pi +16}{(4-\pi)^2}$
エントロピー	$1+\ln\left(\frac{\sigma}{\sqrt{2}}\right)+\frac{\gamma}{2}$
モーメント母関数	$\begin{matrix}1+\sigma t\,e^{\sigma^2t^2/2} \\ \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\left(\textrm{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!+\!1\right)\end{matrix}$
特性関数	$\begin{matrix}1\!-\!\sigma te^{-\sigma^2t^2/2} \\ \quad \times \; \sqrt{\frac{\pi}{2}}\!\left(\textrm{erfi}\!\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right)\!-\!i\right)\end{matrix}$
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