一般化双曲型分布

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一般化双曲型分布 (英:GH, Generalized Hyperbolic Distribution)は、一般化逆ガウス分布(GIG分布)による正規尺度平均混合として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsenにより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布[編集]

確率密度関数[編集]

一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

\begin{align}
gh(x;\lambda,\alpha,\beta,\delta,\mu) = 
   & a(\lambda,\alpha,\beta,\delta,\mu)(\delta^2 + (x - \mu)^2)^{(\lambda - \frac{1}{2})/2}\\
   & \times K_{\lambda - 1/2}(\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2})\exp{(\beta(x - \mu))}
\end{align}

ここで、


    a(\lambda,\alpha,\beta,\delta,\mu) = 
    \frac{(\alpha^2 - \beta^2)^{\lambda/2}}
         {\sqrt{2\pi}\alpha^{\lambda - 1/2}\delta^{\lambda}K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
K_{\lambda}(x) は、第3種の変形ベッセル関数
\mu 位置(location)パラメータ (実数)
\lambda (実数)
\alpha (実数)
\beta 歪度(skewness)/非対称性(asymmetry)パラメータ (実数)
\delta 尺度(scale)パラメータ (実数)
x \in (-\infty; +\infty)
λ>0 のとき、\delta \ge 0,\; |\beta|  <  \alpha
λ=0 のとき、\delta  >  0,\; |\beta|  <  \alpha
λ<0 のとき、\delta  >  0,\; |\beta| \le \alpha

モーメント[編集]

本節では、以下

\begin{align}
 & \zeta_{u} &= & \delta \sqrt{\alpha^2 - (\beta + u)^2} \\
 & \zeta     &= & \zeta_{u=0} 
\end{align}

とする。

期待値[編集]

期待値は以下の式で与えられる。

\begin{align}
E(X) &= \mu + \frac{\delta \beta}
                   {\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
              \frac{K_{\lambda+1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
                   {K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
     &= \mu + \frac{\delta^2 \beta}
                   {\zeta}
              \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}
                   {K_{\lambda}(\zeta)}
\end{align}

分散[編集]

分散は以下の式で与えられる。

\begin{align}
    Var(X) &= 
    \begin{matrix}
         \frac{\delta}
              {\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
         \frac{K_{\lambda+1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
              {K_\lambda(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
       + \frac{\delta^2 \beta^2}
              {(\alpha^2 - \beta^2)}
         \left[
              \frac{K_{\lambda+2}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
            - \left(
                   \frac{K_{\lambda+1}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
              \right)^2
         \right]
    \end{matrix} \\[0.5em]
         &= 
    \begin{matrix}
         \frac{\delta^2}
              {\zeta}
         \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}
              {K_\lambda(\zeta)}
       + \frac{\delta^4 \beta^2}
              {\zeta^2}
         \left[
              \frac{K_{\lambda+2}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
            - \left(
                   \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)}
              \right)^2
         \right]
    \end{matrix}
\end{align}

モーメント母関数[編集]

モーメント母関数は以下の式で与えられる。

\begin{align}
    M_{GH}(u) &= \exp{(u \mu)}
                \left(
                     \frac{\alpha^2 - \beta^2}
                          {(\alpha^2 -(\beta + u)^2)}
                \right)^{\lambda/2}
                \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + u)^2})}
                     {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em]
              &= \exp{(u \mu)}
                \left(
                     \frac{\zeta}
                          {\zeta_{u}}
                \right)^{\lambda}
                \frac{K_{\lambda}(\zeta_{u})}
                     {K_{\lambda}(\zeta)}
\end{align}

特性関数[編集]

特性関数は以下の式で与えられる。


    \varphi(u) = \exp{(i u \mu)}
                \left(
                     \frac{\alpha^2 - \beta^2}
                          {(\alpha^2 -(\beta + iu)^2)}
                \right)^{\lambda/2}
                \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + iu)^2})}
                     {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}

特別なケース[編集]

λ=1 の場合[編集]

双曲型分布(HYP)となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数
\begin{align}
gh(x;1,\alpha,\beta,\delta,\mu)
    &= \mathrm{hyp}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\
    &= \frac{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}
            {2\delta\alpha K_1(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}
       \exp{(-\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} + \beta(x - \mu))}
\end{align}


λ=-1/2 の場合[編集]

正規逆ガウス分布(NIG)となる。導出には、ベッセル関数の性質[1]を利用する。

確率密度関数
\begin{align}
gh(x;-1/2,\alpha,\beta,\delta,\mu) 
    &= \mathrm{nig}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\
    &= \frac{\alpha\delta}
            {\pi} 
       \exp{(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2} + \beta(x - \mu))}
       \frac{K_1(\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2})}
            {\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}}
\end{align}


λ=-1/2、 α=β=0 の場合[編集]

正規逆ガウス分布(NIG)の特別な場合として、コーシー分布となる。


λ=-ν/2、α→|β| の場合[編集]

自由度νの非対称なスチューデントのt分布となる。(β≠0)

\begin{align}
gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha\to|\beta|,\beta,\delta,\mu) \\
     &= \frac{\delta^{\nu}|\beta|^{(\nu + 1)/2} K_{(v+1)/2}\left(\sqrt{(\delta^2 + (x - \mu)^2)\beta^2}\right) \exp{(\beta(x - \mu))}}
           {2^{(v-1)/2} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi} \left(\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)^{(\nu +1)/2}}
\end{align}

λ=-ν/2、α=β=0、 \delta = \sqrt{\nu} の場合[編集]

自由度νの(対称な)スチューデントのt分布となる。

\begin{align}
gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha=0,\beta=0,\delta=\sqrt{\nu},\mu) \\
    &= \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}
            {\sqrt{\pi} \delta \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}
       \left[ 1 + \frac{(x - \mu)^2}{\delta^2} \right]^{- \frac{\nu + 1}{2}} \\
    &= \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)}
            {\sqrt{\pi  \nu}   \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}
       \left( 1 + \frac{(x - \mu)^2}{\nu}      \right)^{- \frac{\nu + 1}{2}}
\end{align}


α→∞、δ→∞、 \frac{\delta}{\alpha} \to \sigma^2 の場合[編集]

平均 \mu + \beta\sigma^2 、分散 \sigma^2正規分布となる。


参考文献[編集]

(英語)

Thanh Tam, Dec 09, 2009.

(日本語)

脚注[編集]

a b  K_{-1/2}(x) = K_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}x^{-1/2}\exp{(-x)}

外部リンク[編集]