一般化双曲型分布

一般化双曲型分布 (英:GH, Generalized Hyperbolic Distribution)は、一般化逆ガウス分布(GIG分布)による正規尺度平均混合として定義される連続確率分布で、1977年にBarndoroff-Nielsenにより導入された。GH分布は金融市場のモデル化によく使われている。

一次元一般化双曲型分布

確率密度関数

一般化双曲型分布の確率密度関数は以下の式で与えられる。

$\begin{align} gh(x;\lambda,\alpha,\beta,\delta,\mu) = & a(\lambda,\alpha,\beta,\delta,\mu)(\delta^2 + (x - \mu)^2)^{(\lambda - \frac{1}{2})/2}\\ & \times K_{\lambda - 1/2}(\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2})\exp{(\beta(x - \mu))} \end{align}$

ここで、

$a(\lambda,\alpha,\beta,\delta,\mu) = \frac{(\alpha^2 - \beta^2)^{\lambda/2}} {\sqrt{2\pi}\alpha^{\lambda - 1/2}\delta^{\lambda}K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}$

$K_{\lambda}(x)$ は、第３種の変形ベッセル関数。

$\mu$ 位置(location)パラメータ (実数)

$\lambda$ (実数)

$\alpha$ (実数)

$\beta$ 歪度(skewness)/非対称性(asymmetry)パラメータ (実数)

$\delta$ 尺度(scale)パラメータ (実数)

$x \in (-\infty; +\infty)$

λ>0 のとき、$\delta \ge 0,\; |\beta| < \alpha$

λ=0 のとき、$\delta > 0,\; |\beta| < \alpha$

λ<0 のとき、$\delta > 0,\; |\beta| \le \alpha$

モーメント

本節では、以下

$\begin{align} & \zeta_{u} &= & \delta \sqrt{\alpha^2 - (\beta + u)^2} \\ & \zeta &= & \zeta_{u=0} \end{align}$

とする。

期待値

期待値は以下の式で与えられる。

$\begin{align} E(X) &= \mu + \frac{\delta \beta} {\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}} \frac{K_{\lambda+1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} {K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em] &= \mu + \frac{\delta^2 \beta} {\zeta} \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)} {K_{\lambda}(\zeta)} \end{align}$

分散

分散は以下の式で与えられる。

$\begin{align} Var(X) &= \begin{matrix} \frac{\delta} {\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}} \frac{K_{\lambda+1}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} {K_\lambda(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} + \frac{\delta^2 \beta^2} {(\alpha^2 - \beta^2)} \left[ \frac{K_{\lambda+2}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} - \left( \frac{K_{\lambda+1}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}{K_{\lambda}(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \right)^2 \right] \end{matrix} \\[0.5em] &= \begin{matrix} \frac{\delta^2} {\zeta} \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)} {K_\lambda(\zeta)} + \frac{\delta^4 \beta^2} {\zeta^2} \left[ \frac{K_{\lambda+2}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)} - \left( \frac{K_{\lambda+1}(\zeta)}{K_{\lambda}(\zeta)} \right)^2 \right] \end{matrix} \end{align}$

モーメント母関数

モーメント母関数は以下の式で与えられる。

$\begin{align} M_{GH}(u) &= \exp{(u \mu)} \left( \frac{\alpha^2 - \beta^2} {(\alpha^2 -(\beta + u)^2)} \right)^{\lambda/2} \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + u)^2})} {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \\[0.5em] &= \exp{(u \mu)} \left( \frac{\zeta} {\zeta_{u}} \right)^{\lambda} \frac{K_{\lambda}(\zeta_{u})} {K_{\lambda}(\zeta)} \end{align}$

特性関数

特性関数は以下の式で与えられる。

$\varphi(u) = \exp{(i u \mu)} \left( \frac{\alpha^2 - \beta^2} {(\alpha^2 -(\beta + iu)^2)} \right)^{\lambda/2} \frac{K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 -(\beta + iu)^2})} {K_{\lambda}(\delta \sqrt{\alpha^2 - \beta^2})}$

特別なケース

λ=1 の場合

双曲型分布(HYP)となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。

確率密度関数

$\begin{align} gh(x;1,\alpha,\beta,\delta,\mu) &= \mathrm{hyp}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\ &= \frac{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}} {2\delta\alpha K_1(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2})} \exp{(-\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2} + \beta(x - \mu))} \end{align}$

λ=-1/2 の場合

正規逆ガウス分布(NIG)となる。導出には、ベッセル関数の性質を利用する。

確率密度関数

$\begin{align} gh(x;-1/2,\alpha,\beta,\delta,\mu) &= \mathrm{nig}(x; \alpha, \beta, \delta, \mu) \\ &= \frac{\alpha\delta} {\pi} \exp{(\delta\sqrt{\alpha^2 - \beta^2} + \beta(x - \mu))} \frac{K_1(\alpha\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2})} {\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}} \end{align}$

λ=-1/2、 α=β=0 の場合

正規逆ガウス分布(NIG)の特別な場合として、コーシー分布となる。

λ=-ν/2、α→|β| の場合

自由度νの非対称なスチューデントのt分布となる。(β≠0)

$\begin{align} gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha\to|\beta|,\beta,\delta,\mu) \\ &= \frac{\delta^{\nu}|\beta|^{(\nu + 1)/2} K_{(v+1)/2}\left(\sqrt{(\delta^2 + (x - \mu)^2)\beta^2}\right) \exp{(\beta(x - \mu))}} {2^{(v-1)/2} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi} \left(\sqrt{\delta^2 + (x - \mu)^2}\right)^{(\nu +1)/2}} \end{align}$

λ=-ν/2、α=β=0、 $\delta = \sqrt{\nu}$ の場合

自由度νの(対称な)スチューデントのt分布となる。

$\begin{align} gh(x;&\lambda=\frac{-\nu}{2},\alpha=0,\beta=0,\delta=\sqrt{\nu},\mu) \\ &= \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)} {\sqrt{\pi} \delta \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left[ 1 + \frac{(x - \mu)^2}{\delta^2} \right]^{- \frac{\nu + 1}{2}} \\ &= \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right)} {\sqrt{\pi \nu} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left( 1 + \frac{(x - \mu)^2}{\nu} \right)^{- \frac{\nu + 1}{2}} \end{align}$

α→∞、δ→∞、 $\frac{\delta}{\alpha} \to \sigma^2$ の場合

平均 $\mu + \beta\sigma^2$ 、分散 $\sigma^2$ の正規分布となる。

参考文献

(英語)

• The Generalized Hyperbolic Model: Estimation, Financial Derivatives, and Risk Measures(PDF), Karsten Prause, Oktober 1999.
• Generalized Hyperbolic and Inverse Gaussian Distributions: Limiting Cases and Approximation of Processes(PDF), Ernst Eberlein and Ernst August v. Hammerstein, revised April 2003.
• Absolute moments of generalized hyperbolic distributions and approximate scaling of normal inverse Gaussian Lévy-Processes(PDF), Ole Eiler Barndorff-Nielsen and Robert Stelzer, April 25, 2004.
• Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), David Scott, Department of Statistics, The University of Auckland, July 3, 2008.
• Moments of the Generalized Hyperbolic Distribution(PDF), Scott, David J, Wurtz, Diethelm, Dong, Christine and Tran,

Thanh Tam, Dec 09, 2009.

(日本語)

• GIG分布とGH分布に関する解析(PDF), 増田 弘毅, 統計数理（2002） 第 50 巻 第 2 号 165–199 ©2002 統計数理研究所 特集「ファイナンス統計学」

脚注

^a b  $K_{-1/2}(x) = K_{1/2}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2}}x^{-1/2}\exp{(-x)}$

外部リンク

• Wolfram Demonstration Project - Generalized Hyperbolic Distribution (GH確率密度関数のグラフを見ることができる。)