逆ガウス分布

逆ガウス分布（ぎゃく-ぶんぷ）は、連続型の確率分布である。ワルド分布とも呼ばれる。

定義と性質

$[0,\infty)$ の範囲の値を取る実数の確率変数 $x$ が逆ガウス分布にしたがうとき、その分布関数は以下である。

$\Phi\left\{\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}-1\right)\right\}+\exp\left(\frac{2\lambda}{\mu}\right)\Phi\left\{-\sqrt{\frac{\lambda}{x}}\left(\frac{x}{\mu}+1\right)\right\}$

ここで

$\Phi(u)=\int_{-\infty}^u\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{z^2}{2}\right)\mathit{dz}$

であり、$\mu>0,~\lambda>0$ がパラメータである。このときの確率密度関数は以下である。

$f(x)=\left(\frac{\lambda}{2\pi x^3}\right)^{\frac{1}{2}}\exp\left(-\frac{\lambda(x-\mu)^2}{2\mu^2x}\right)$

期待値は $\mu$、分散は $\frac{\mu^3}{\lambda}$ である。

$\lambda\rightarrow\infty$ で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 $\frac{X-\mu}{\sqrt{\mu^3/\lambda}}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に近づく。

逆ガウス分布のキュムラント母関数 (en:Cumulant generating function、モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布

外部リンク

• 朱鷺の杜Wiki