ガウス=クズミン分布

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ガウス=クズミン分布
確率質量関数
累積分布関数
母数 (none)
k \in \{1,2,\ldots\}
確率質量関数 -\log_2\left[ 1-\frac{1}{(k+1)^2}\right]
累積分布関数 1 - \log_2\left(\frac{k+2}{k+1}\right)
期待値 +\infty
中央値 2\,
最頻値 1\,
分散 +\infty
歪度 (not defined)
尖度 (not defined)
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数学の分野におけるガウス=クズミン分布(ガウス=クズミンぶんぷ、: Gauss–Kuzmin distribution)とは、(0, 1) 内に一様に分布されたある確率変数連分数展開にあらわれる係数の極限確率分布として生じるある離散確率分布のことを言う[1]。1800年頃にこの分布を発見したカール・フリードリヒ・ガウス[2]と、1929年にその収束率の評価を与えたロディオン・クズミン英語版の名にちなむ[3][4]。それは次のような確率質量関数で与えられる。

 p(k) = - \log_2 \left( 1 - \frac{1}{(1+k)^2}\right)~.

ガウス=クズミンの定理[編集]

 x = \frac{1}{k_1 + \frac{1}{k_2 + \cdots}}

を (0, 1) 内に一様に分布する確率変数 x の連分数展開とする。このとき

 \lim_{n \to \infty} \mathbb{P} \left\{ k_n = k \right\} = - \log_2\left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)~

が成立する。また同値であるが、

 x_n = \frac{1}{k_{n+1} + \frac{1}{k_{n+2} + \cdots}}~;

とすれば、

 \Delta_n(s) = \mathbb{P} \left\{ x_n \leq s \right\} - \log_2(1+s)

n が無限大に向かうにしたがってゼロに近付く。

収束率[編集]

1928年、クズミンは次の評価を与えた。

 |\Delta_n(s)| \leq C \exp(-\alpha \sqrt{n})~.

1929年、ポール・レヴィ英語版はこの評価を次のように改善した[5]

 |\Delta_n(s)| \leq C \, 0.7^n~.

その後エデュアルト・ヴィルズィングは、λ=0.30366...(ガウス=クズミン=ヴィルズィング定数)に対して、次の極限

 \Psi(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{\Delta_n(s)}{(-\lambda)^n}

が [0, 1] 内のすべての s について存在すること、およびその関数 Ψ(s) は解析的であり Ψ(0)=Ψ(1)=0 を満たすことを示した[6]。その後のさらなる評価は、K.I. Babenko によって示されている[7]

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Weisstein, Eric W., "Gauss–Kuzmin Distribution" - MathWorld.(英語)
  2. ^ Gauss, C.F.. Werke Sammlung. 10/1. pp. 552–556. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN236018647. 
  3. ^ Kuzmin, R.O. (1928). “On a problem of Gauss”. DAN SSSR: 375–380. 
  4. ^ Kuzmin, R.O. (1932). “On a problem of Gauss”. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna 6: pp. 83–89. 
  5. ^ Lévy, P. (1929). “Sur les lois de probabilité dont dépendent les quotients complets et incomplets d'une fraction continue”. Bulletin de la Société Mathématique de France 57: pp. 178–194. JFM 55.0916.02. http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1929__57__178_0. 
  6. ^ Wirsing, E. (1974). “On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces”. Acta Arithmetica 24: pp. 507–528. 
  7. ^ Babenko, K.I. (1978). “On a problem of Gauss”. Soviet Math. Dokl. 19: pp. 136–140.