ディガンマ関数

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実数x に対するψ(x)の挙動
複素平面上でのψ(z )。点z における色が ψ(z) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表す。

数学において、ディガンマ関数(でぃがんまかんすう、: digamma function)とはガンマ関数対数微分で定義される特殊関数ポリガンマ関数の一種である。

定義 [編集]

ガンマ関数Γ(z )に対し、その対数微分


\psi(z) 
 = \frac{d}{dz} \ln{\Gamma(z)}  = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

ディガンマ関数と呼ぶ。

ディガンマ関数はz =0,-1,-2,……で1位のをもち,それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

基本的性質[編集]

ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示


\frac{1}{\Gamma(z)}=\lim_{n \to \infty} \frac{z(z+1)\cdots(z+n)}{n^z n!}

を対数微分することで、ディガンマ関数における


\psi(z)=\lim_{n \to \infty} 
\left \{ \ln{n}-\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{z+k} \right \}

という表示を得る。特にz =1とすれば、特殊値


\psi(1)=\lim_{n \to \infty} 
\left \{ \ln{n}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} \right \} 
=-\gamma

を得る。但し、γ =0.5772...はオイラーの定数である。

また、ディガンマ関数は次の漸化式を満たす。


\psi(z+1) = \psi(z) + \frac{1}{z}

この関係式から、一般に


\psi(z+n) = \psi(z) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{z+k-1}

であり、特に z =1とすれば、特殊値


\psi(n+1) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

が得られる。

級数表示[編集]

ディガンマ関数とその導関数z ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。


\psi(z) = -\gamma -\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( 
\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )
= -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z-1}{(n+1)(z+n)}

\psi^{(k)}(z) = (-1)^{k+1} k! \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(z+n)^{k+1}}

これらの級数は、ガンマ関数のワイエルシュトラスの無限乗積表示


\frac{1}{\Gamma(z)}= z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty}
\biggl ( 1+ \frac{z}{n} \biggr ) e^{-z/n}

の対数微分から導かれるものである、

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように級数表示される。


\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{n=2}^{\infty} (-1)^n 
\zeta(n) z^{n-1}

ただし、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示[編集]

Rez > 0のとき、ディガンマ関数は次の積分表示を持つ。

  • 
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( e^{-s}-\frac{1}{(1+s)^z}
\biggr) \frac{ds}{s}
  • 
\psi(z) = \int_{0}^{\infty} \biggl ( \frac{e^{-s}}{s}-\frac{e^{-z}}{1-e^{-s}}
\biggr) ds
  • 
\psi(z)
 = -\gamma +  \int_{1}^{\infty} \frac{s^{z-1}-1}{s^z (s-1)} ds
  • 
\psi(z+1) = \ln{z}-\frac{1}{2z}
- \int_{0}^{\infty} \biggl (
\frac{1}{2} \operatorname{coth} \frac{s}{2}-  \frac{1}{s}  
\biggr ) e^{-zs} ds

但し、coths/2 は双曲線余接関数を表す。

また、ディガンマ関数同士の差について、以下が成り立つ。

  • 
\psi(y) -\psi(x)
 =  \int_{0}^{1} \frac{u^{x-1}-u^{y-1}}{1-u} du

相反公式[編集]

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。


\psi(1-z)-\psi(z) = \pi \operatorname{cot} \pi z

但し、cot πz余接関数を表す。

漸近展開[編集]

z →∞ (|argz | < π)のとき、ディガンマ関数は次の漸近展開をもつ。


\begin{align}
\psi(z) 
& \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}} \\
& = \ln{z}- \frac{1}{2z}- \frac{1}{12z^2}+ \frac{1}{120z^4}- \frac{1}{252z^6} +\cdots
\end{align}

但し、B2nベルヌーイ数である。

特殊値[編集]

ディガンマ関数は、正の整数において、次の値をとる。

  • 
\psi(1) = -\gamma
  • 
\psi(n) = -\gamma + \sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}
= -\gamma + H_{n-1} \qquad (n = 2,3,4, \cdots)

但し、Hn-1調和数を表す。

また、正の半整数において、次の値をとる。

  • 
\psi(1/2) = -\gamma -2 \ln{2}
  • 
\psi(n+1/2) = -\gamma  -2 \ln{2} 
+ 2  \sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2k+1} \qquad (n = 1,2,3, \cdots)

参考文献[編集]

関連項目[編集]