漸近展開

漸近展開(ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion)とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがあり、漸近展開は解析学では重要な手法の一つである。

漸近級数

関数 $\scriptstyle f(x)\!$ を定義域が実数の領域で定義された関数とし、$x_0$ を $\scriptstyle f(x)\!$ の定義域内の点とする。

関数列 $\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}$ が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

• $\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_{n}(x))\ \ \ (x\to x_0)\ \ \ \ (n = 0,\ 1,\ 2,\ldots)$

実数列 $\scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0}$ が存在して、任意の正整数 n に対し

$f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x) = o(\varphi_n(x))\ \ \ \ \ (x\to x_0)$

が成立するとき、

$\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)$

を $\scriptstyle f(x)\!$ の漸近級数といい、

$f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)$

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という。

• 任意の正整数 n、$\scriptstyle f(x)\!$ の定義域内の x に対して

$\left|f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x)\right| < |a_{n+1}\varphi_{n+1}(x)|$

が成立する。

漸近関数列が $\scriptstyle\{ (x-x_0)^n \}_{n\ge 0}$ $\scriptstyle(|x_0|<\infty)$ または $\scriptstyle\{ x^{-n} \}_{n\ge 0}$ $\scriptstyle(|x_0|=\infty)$ の形の漸近級数を、漸近ベキ級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、$\scriptstyle f(x)\!$ の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 $\scriptstyle f(x)\!$ の漸近級数 $\textstyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)$ が存在する場合、 $\scriptstyle f(x)\!$ は漸近展開

$f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)$

を持つという。

性質

一意性

任意の関数 $\scriptstyle f(x)\!$ に対して、$\scriptstyle f(x)\!$ に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。 例えば

• $1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}x^{-k}\ \ \ \ (x\to\infty)$
• $1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}(x^2+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to\infty)$

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。 従って、ある点でテイラー展開されたベキ級数は、その点での唯一の漸近ベキ級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

$a_0 = \lim_{x\to x_0} f(x),\ \ \ \ \ a_n = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_k\varphi_k(x)}{\varphi_n(x)}\ \ \ (n\ge 1)$

で与えられる。

和と積

点 $x_0$ の近傍で定義された関数 $\scriptstyle f(x),\ g(x)$ は、漸近関数列 $\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}$ に対する漸近展開

$f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ \ \ g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}b_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)$

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

$\alpha f(x) + \beta g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}(\alpha a_k + \beta b_k)\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)$

が成立する。

さらに、漸近関数列が $\scriptstyle\{ \varphi(x)^n \}_{n\ge 0}$ $\scriptstyle(\varphi(x)\to\infty\ (x\to x_0))$ である場合、

$f(x)g(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}c_n\varphi(x)^n\ \ \ (c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k})\ \ \ (x\to x_0)$

が成立する。

項別微分

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 $\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}$ は各 n に対して、$x_0$ の近傍で微分可能であり、関数列 $\scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0}$ が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

$\scriptstyle f(x)\!$ は、$x_0$ の近傍で微分可能であり、

$f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)$

となる漸近展開を持ち、$\scriptstyle f'(x)\!$ が漸近関数列 $\scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0}$ を用いて漸近展開することができるのであれば

$f'(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi'_k(x)\ \ \ (x\to x_0)$

が成立する。

項別積分

$\scriptstyle|x_0|<\infty$ とし、$\scriptstyle f(x)\!$ の漸近展開を

$f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)$

とする。定積分

$\Phi_n(x) = \int_{x_0}^x\varphi_n(t)dt$

が各 n に対して存在するならば、

$F(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt$

が存在して、

$F(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\Phi_k(x)\ \ \ (x\to x_0)$

が成立する。

$\scriptstyle x_0=\infty$ のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近ベキ級数

$f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{x^{k}}\ \ \ (x\to\infty)$

を持つ場合、

$\int_{x}^{\infty}\left(f(t) - a_0 - \frac{a_1}{t}\right)dt \sim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{a_k}{(k-1)x^{k-1}}\ \ \ (x\to\infty)$

とする必要がある。

例

(1) スターリングの公式の一般化

ガンマ関数は

$\Gamma(x+1) \sim \sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x \left(1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)$

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている。

(2) 誤差関数

誤差関数

$\operatorname{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty} e^{-t^2} dt$

は、以下の様な漸近展開を持つ。

$\operatorname{erfc}(x) \sim \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}x}\left(\ 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot 3}{2^2x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3x^6} + \cdots\right)\ \ \ (x\to\infty)$

(3) 指数積分

指数積分

$\operatorname{Ei}(x) = \int_x^{\infty}\frac{e^{x-t}}{t}dt$

の漸近展開は、

$\operatorname{Ei}(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\ \ \ \ (x\to\infty)$

で与えられる。

(4) ラプラス変換

$\scriptstyle f(x)\!$ を何回でも微分可能な関数としたとき、$\scriptstyle f(x)\!$ のラプラス変換

$F(x) = \int_0^{\infty}f(t)e^{-xt}dt$

の漸近展開は、

$F(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}\frac{1}{x^{n+1}}\ \ \ \ (x\to\infty)$

で与えられる。

(5) 微分方程式の解

微分方程式

$x^2y'' + (3x+1)y' + y = 0 \!$

の解は

$y(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{1+xt}dt$

で与えられ、

$y(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n n! x^n\ \ \ \ (x\to 0)$ 。

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の $\scriptstyle x\ne 0$ で収束しないが、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

参考文献

• 大久保謙二郎・河野, 實彦 『漸近展開』 教育出版、東京、1976年。
• ハイラーE. 『解析教程 上下』 蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997年。
• 柴田正和 『漸近級数と特異摂動法』 森北出版、東京、2009年。

関連項目

• 級数
• テイラー展開
• 微分方程式