オイラー積分

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数学に於いて、オイラー積分(オイラーせきぶん, Euler integral, Eulerian integral)とは、数学者オイラールシャンドルに拠って研究された積分[1][2]第一種オイラー積分第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数ガンマ関数に相当する。 オイラー積分ルシャンドルに拠って与えられた。

概要[編集]

第一種オイラー積分(Euler integral of the first kind)はベータ関数とも呼ばれ、\Re(x)>0, \Re(y)>0を満たすx, yに対して、

\Beta(x,y)= \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt =\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}

定義される。

第二種オイラー積分(Euler integral of the second kind)はガンマ関数とも呼ばれ、\Re(z) >0を満たすzに対して、

\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

定義される。

オイラー積分の性質として、整数l, m, nに対して、

\Beta(l,m)= {(l-1)!(m-1)! \over (l+m-1)!}={l+m \over lm{l+m \choose l}}

\Gamma(n) = (n-1)! \,

という表示も在る。

脚注[編集]

  1. ^ *L. Euler, Nov. Comm. Petrop., XVI.(1772)
  2. ^ A. M. Legendre, Exercices, I, p.221, Paris

参考文献[編集]

  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目[編集]