ゲルフォント＝シュナイダーの定理

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gelfond–Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンドル・ゲルフォントとテオドール・シュナイダーによって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張

α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、$\alpha ^{\beta }$ は、超越数である。

系

系1

$\alpha _{1},\alpha _{2}$ を 0, 1 以外の代数的数とする。$\log \alpha _{1}/\log \alpha _{2}$ は、有理数であるか超越数である。

系2

$\alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2}$ を 0 以外の代数的数とする。もし、$\log \alpha _{1},\log \alpha _{2}$ が有理数体上線形独立であるならば、$\beta _{1}\log \alpha _{1}+\beta _{2}\log \alpha _{2}\neq 0$ である。

例

ゲルフォント＝シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

• $2^{\sqrt {2}}$ 。(オンライン整数列大辞典の数列 A007507)
• ${\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}$ 。(オンライン整数列大辞典の数列 A078333)
• $e^{\pi }\ (=(-1)^{-i})$ 。これはゲルフォントの定数とよばれる。(オンライン整数列大辞典の数列 A039661)
• 有理数ではない代数的数 $\alpha$ に対する、$\sin {\alpha \pi }$, $\cos {\alpha \pi }$, $\tan {\alpha \pi }$ 。
• $i\alpha$ が有理数ではない代数的数 $\alpha$ に対する、$\sinh {\alpha \pi }$, $\cosh {\alpha \pi }$, $\tanh {\alpha \pi }$ 。
• 乗法的独立である、0, 1 ではない代数的数 $\alpha ,\ \beta$ に対する、$\log {\alpha }/\log {\beta }$ 。

歴史

ダフィット・ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、アレクサンドル・ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、$\alpha ^{\beta }$ が超越数であることを証明し、例えば、$e^{\pi }$ が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、カール・ジーゲルは、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年（1930年）、ロディオン・クズミンは、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとテオドール・シュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが（系2）、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された（ベイカーの定理を参照）。

関連項目

• ヒルベルトの23の問題
• ベイカーの定理
• 超越数

参考文献

• 杉浦, 光夫編『ヒルベルト23の問題』日本評論社、東京、1997年。 
• 塩川, 宇賢『無理数と超越数』森北出版、東京、1999年。 
• I., Niven (1956). Irrational numbers, The Carus Math. Monog.. Washington: Math. Assoc. of America