ゲルフォント＝シュナイダーの定理

ゲルフォント＝シュナイダーの定理 (ゲルフォント＝シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンダー・ゲルフォント (en) とテオドール・シュナイダー (en) によって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張

α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、$\alpha^\beta$ は、超越数である。

系

系1 $\scriptstyle\alpha_1,\ \alpha_2$ を 0, 1 以外の代数的数とする。$\log\alpha_1/\log\alpha_2$ は、有理数であるか超越数である。

系2 $\scriptstyle\alpha_1,\ \alpha_2,\ \beta_1,\ \beta_2$ を 0 以外の代数的数とする。 もし、$\scriptstyle\log\alpha_1,\ \log\alpha_2$ が有理数体上線形独立であるならば、

$\beta_1\log\alpha_1 + \beta_2\log\alpha_2\ne 0$ 。

例

ゲルフォント＝シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

• $2^{\sqrt{2}}$ 。
• $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ 。
• $e^{\pi}\ (= i^{-2i})$ 。これはゲルフォントの定数とよばれる。
• 有理数ではない代数的数 $\scriptstyle \alpha$ に対する、$\sin{\alpha\pi}$, $\cos{\alpha\pi}$, $\tan{\alpha\pi}$ 。
• $\scriptstyle i\alpha$ が有理数ではない代数的数 $\scriptstyle \alpha$ に対する、$\sinh{\alpha\pi}$, $\cosh{\alpha\pi}$, $\tanh{\alpha\pi}$ 。
• 乗法的独立である、0, 1 ではない代数的数 $\scriptstyle \alpha,\ \beta$ に対する、$\log{\alpha}/\log{\beta}$ 。

歴史

ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、a^b は超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、$\alpha^\beta$ が超越数であることを証明し、例えば、$e^\pi$ が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、ジーゲル (C. L. Siegel) は、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、クズミン (R. O. Kuz'min) は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント＝シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。

関連項目

• ヒルベルトの23の問題
• ベイカーの定理
• 超越数

参考文献

• 杉浦光夫編 『ヒルベルト23の問題』 日本評論社、東京、1997年。
• 塩川宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、東京、1999年。
• I., Niven (1956). Irrational numbers, The Carus Math. Monog.. Washington: Math. Assoc. of America.