超幾何級数

数学において、超幾何級数（ちょうきかきゅうすう、hypergeometric series）は、一般に

$_rF_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_s)_n\;n!}z^n$

の形式で表される級数である。但し、

$\begin{align} &(x)_0=1\\ &(x)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)\\ \end{align}$

はポッホハマー記号である。古典的にはガウスの超幾何関数

$F(a,b,c;z)={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n$

を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。

収束条件

超幾何級数$_rF_s[a_1,\dots,a_r;b_1,\dots,b_s;z]$は、$r<s+1$であれば絶対収束し、$r>s+1$であれば発散する。$r=s+1$の場合は、$|z|<1$であれば絶対収束し、$|z|>1$であれば発散する。$|z|=1$の場合は、$\sum\real{a_j}<\sum\real{b_j}$であれば絶対収束し、$\sum\real{a_j}>\sum\real{b_j}$であれば発散する。但し、$a_j$又は$b_j$が正でない整数$k\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N}$である場合は、$(a_j)_{n{\ge}k}=0$となって${z}<\infty$で収束、或いは$(b_j)_{n{\ge}k}=0$となって$z\ne0$で発散する場合がある。

収束条件の証明

第$n$項を$c_n$として

$\begin{align} &_rF_{r-1}\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r-1}\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\\ &c_n=\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_{r-1})_n(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_{r-1})_n\;n!} \end{align}$

項比は

$\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_{n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(a_1+n)(a_2+n)\dots(a_{r-1}+n)(a_r+n)}{(b_1+n)(b_2+n)\dots(b_{r-1}+n)(1+n)}z=z$

であるから、$|z|<1$であれば絶対収束し、$|z|>1$であれば発散する。$|z|=1$の場合は、

$\begin{align} &\frac{a+n}{n}=1+\frac{a}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\ &\frac{n}{b+n}=1-\frac{b}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a)\\ \end{align}$

であるから、

$\begin{align} &\begin{align}\frac{c_{n+1}}{c_{n}} &=\prod_{j=1}^{r}\left(1+\frac{a_j}{n}\right)\cdot\prod_{j=1}^{r-1}\left(1-\frac{b_j}{n}\right)\cdot\left(1-\frac{1}{n}\right)+O\left(n^{-2}\right)\\ &=1+\sum_{j=1}^{r}\frac{a_j}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{b_j}{n}-\frac{1}{n}+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\ \end{align}\\ &\begin{align}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right|^2 &=\left(1+\sum_{j=1}^{r}\frac{\real{a_j}}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{\real{b_j}}{n}-\frac{1}{n}\right)^2+\left(\sum_{j-1}^{r}\frac{\image{a_j}}{n}-\sum_{j=1}^{r-1}\frac{\image{b_j}}{n}\right)^2+O\left(n^{-2}\right)\\ &=1+\frac{2}{n}\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\ \end{align}\\ &\begin{align}&\left|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right| &=1-\frac{1}{n}\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}-1\right)+O\left(n^{-2}\right)\qquad(n{\gg}a_j,b_k)\\ \end{align}\\ \end{align}$

であり、

$\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{|c_{n}|}{|c_{n+1}|}-1\right)-1=-\left(\sum_{j=1}^{r}\real{a_j}-\sum_{j=1}^{r-1}\real{b_j}\right)$

である。従って、ラーペの判定法により、$\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}<0$であれば絶対収束し、$\sum\real{a_j}-\sum\real{b_j}>0$であれば発散する。

超幾何関数

超幾何級数で定義される、或いは表示される関数を超幾何関数という。超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する。

$\begin{align} &(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-a)(-a-1)\cdots(-a-n+1)}{n!}(-z)^n={_1F_0}\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};z\right]\\ &e^z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}z^n={_0F_0}\left[\begin{matrix}-\\-\end{matrix};z\right]\\ &{\sin}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n}=z\cdot{_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &{\cos}z=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}z^{2n}={_0F_1}\left[\begin{matrix}-\\\frac{1}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &{\log}(1+z)=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}z^{n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}1,1\\2\end{matrix};-z\right]\\ &{\log}\left(\frac{1+z}{1-z}\right)=2z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}z^{2n}=2z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ &{\sin}^{-1}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix};z^2\right]\\ &{\tan}^{-1}z=z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}z^{2n}=z\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},1\\\frac{3}{2}\end{matrix};-z^2\right]\\ \end{align}$

完全楕円積分

$\begin{align} &K(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2k^{2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\ &E(k)=\frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}{\left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2\frac{k^{2n}}{1-2n}}=\frac{\pi}{2}\cdot{_2F_1}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\\1\end{matrix};k^2\right]\\ \end{align}$

正弦積分、余弦積分、指数積分

$\begin{align} &\operatorname{Si}(z)=x\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(2n+1)!}z^{2n}=x\cdot{_1F_2}\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2},\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &\operatorname{Ci}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)(2n)!}z^{2n}=\gamma+\log{z}-\frac{z^2}{4}\cdot{_2F_3}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2,\frac{3}{2}\end{matrix};-\frac{z^2}{4}\right]\\ &\operatorname{Ei}(z)=\gamma+\log{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{nn!}z^{n}=\gamma+\log{z}+z\cdot{_2F_2}\left[\begin{matrix}1,1\\2,2\end{matrix};z\right]\\ \end{align}$

オイラー積分表示

ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される。

$F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)$

これは

$\begin{align}F(a,b,c;z) &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\Beta(a+n,c-a)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}t^{a+n-1}(1-t)^{c-a-1}dt\right)\frac{(b)_n}{n!}z^n\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(b)_n}{n!}(tz)^n\right)dt\\ &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\\ \end{align}$

として導かれる。

超幾何定理

ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に$z=1$を代入するとガウスの超幾何定理を得る。

$\begin{align}F(a,b,c;1) &=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\ &=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\ &=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-a-b)}{\Gamma(c-a)\Gamma(c-b)}\qquad(\real{a}+\real{b}<\real{c},c\not\in\mathbb{Z}\setminus\mathbb{N})\\ \end{align}$

となる。更に$a=-n$を代入するとヴァンデルモンドの恒等式を得る。

$F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}$

参考文献

• 『超幾何・合流型超幾何微分方程式』（ 西本敏彦、共立出版、1998年、ISBN 978-4320015937 ）

関連項目

• オイラー積分
• 特殊関数
• ガンマ関数
• ベッセル関数