テータ関数

テータ関数(テータかんすう、theta function)は、

$\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}.$

で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数$\vartheta_{ab}(z,\tau)$、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数$\vartheta_{i}(z, \tau)$と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、$z$の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、$\tau$の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数の定義

テータ関数は次のように定義される関数のことを指す。

$\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}.$

テータ関数を$z$の関数と見た場合、周期$1$の周期関数である。

$\vartheta(z + 1, \tau) = \vartheta(z, \tau).$

一般には以下の等式を満たす。

$\vartheta(z + m \tau + n, \tau) = e^{- \pi i m^{2} \tau - 2 \pi i m z} \vartheta(z, \tau).$

ヤコビのテータ関数の定義

ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す。

$\begin{align} \Theta(u) &:= \left(\frac{2 k' K}{\pi}\right)^{1/2}\exp\left(\int^{u}_0 \mathrm{d}t~ Z(t)\right),\\ \Theta_{1}(u) &:= \Theta(u + K). \end{align}$

ただし、$k':=\sqrt{1 - k^{2}\,}$は補母数、$K = K(k)$は 第1種完全楕円積分、$Z(u)$はヤコビのツェータ関数

$\begin{align} Z(u) &:= \mathcal{E}(u) - \frac{E(k) u}{K(k)},\\ \mathcal{E}(u) &:= \int^{u}_{0} \mathrm{d}t\, \mathrm{dn}^{2} t = \int^{\mathrm{sn} u}_{0} \mathrm{d}t \sqrt{\frac{1 - k^{2} t^{2}}{1 - t^{2}}} = \int^{\mathrm{am} u}_{0} \mathrm{d}\theta \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} \theta}, \end{align}$

$\mathcal{E}(u)$はヤコビのイプシロン関数、 $E(k)$は第2種完全楕円積分、 $\mathrm{sn}\, u = \mathrm{sn}(u , k)$、$dn\, u = dn(u, k)$は ヤコビの楕円関数、$\mathrm{am}\, u = \mathrm{am} (u, k)$は振幅関数である。

また、ヤコビのエータ関数

$\begin{align} H(u) &:= -i \exp\left((2 u + i K') \pi i /(4 K)\right) \Theta(u + i K'), \quad i := \sqrt{-1\,},\\ H_{1}(u) &:= H(u + K), \end{align}$

を含めて、$\Theta(u)$、$\Theta_{1}(u)$、 $H(u)$、$H_{1}(u)$のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある。ただし、$K' := K(k')$である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている。

$\begin{align} \Theta(u) &= \vartheta_{0}(u/(2 \omega_{1})),\quad \Theta_{1}(u) = \vartheta_{3}(u / (2 \omega_1)),\\ H(u) &= \vartheta_{1}(u/(2 \omega_{1}),\quad H_{1}(u) = \vartheta_{2}(u/(2 \omega_{1})), \end{align}$

ただし、$\omega_{1}$は、楕円関数の基本周期の半分で、$\tau = \omega_{3}/ \omega_{1}$である。($2 \omega_{1}$、$2 \omega_{3}$が楕円関数の基本周期に相当する。)

物理の教科書(たとえば、M.B.Green, J.H.Schwarz and E.Witten, Superstring Theory vol.1 and 2やL.S.Schulman, Techniques and Applications of Path Integrationなど)では後述の$\vartheta_{i}(z, \tau)$をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。

指標付きのテータ関数の定義

以下のように定義された、添え字を2つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶ。

$\vartheta_{a,b}(z, \tau) :=\sum^\infty_{n=-\infty} e^{\pi i (n + a)^{2} \tau + 2 \pi i(n + a)(z + b)},\quad a,b \in \mathbb{R}.$

なお、指標付きのテータ関数の定義には2つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない 。 この記事で使われているのは、D.Mumford, Tata lectures on thetaで使われているのと同じ定義である。

楕円テータ関数の定義

楕円テータ関数(だえんテータかんすう、elliptic theta function)は、以下のように定義された関数である。 ただし、$\mathrm{Im}\,\tau > 0$、$q := e^{\pi i \tau}$である。

$\begin{align} \vartheta_0(z,\tau) &:= \vartheta_{01}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau n^{2} + 2 \pi i n \left(z + \frac{1}{2}\right)}\\ &=1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} q^{n^{2}} \cos 2 n \pi z,\\ \vartheta_{1}(z, \tau) &:= - \vartheta_{11}(z, \tau) = - \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2} + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right) \left(z + \frac{1}{2}\right)}\\ &=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n} q^{{\left(n + \frac{1}{2}\right)}^2} \sin(2 n + 1) \pi z},\\ \vartheta_{2}(z, \tau) &:= \vartheta_{10}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right)z}\\ &= 2 \sum_{n=0}^{\infty} q^{{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^2} \cos (2 n + 1) \pi z,\\ \vartheta_3(z, \tau) &:= \vartheta_{00}(z, \tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i \pi \tau n^{2} + 2 n z}\\ &= 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} q^{n^{2}} \cos 2 n \pi z. \end{align}$

楕円テータ関数にも定義に2つの流儀があり、注意が必要である。この記事での定義は、フルヴィッツ・クーランの 「楕円関数論」で用いられたのと同じ定義である。添え字が$0$から$3$ではなく、 $1$から$4$までの定義もある。 その場合は、$\vartheta_{1}(z , \tau)$、$\vartheta_{2}(z, \tau)$、$\vartheta_{3}(z, \tau)$の定義は変わらず、 $\vartheta_{4}(z, \tau) := \vartheta_{0}(z, \tau)$で定義される。 文脈から$v$或いは$\tau$が明らかな場合は$\vartheta_i(v)$或いは$\vartheta_i(\tau)$と書き、更に$\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau)$と書く。数式処理ソフトウェアMathematicaでは、$\pi v$のことを$v$と書いている。

擬二重周期

テータ関数は擬二重周期を持つ。

$\begin{align}\vartheta_1(v+1;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+{\pi}i}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}}\\ &=-\vartheta_1(v;\tau)\\ \end{align}$

$\vartheta_2(v+1;\tau)=-\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_3(v+1;\tau)=\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_4(v+1;\tau)=\vartheta_4(v;\tau)$

$\begin{align}\vartheta_1(v+\tau;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})\tau}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+1+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\ &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}}\\ &=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_1(v;\tau) \end{align}$

$\vartheta_2(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_3(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_4(v+\tau;\tau)=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_4(v;\tau)$

無限乗積表示と零点

ヤコビの三重積の公式により、

$\begin{align} \vartheta_1(v;\tau) &=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1/2\right)^2}e^{2{\pi}i(n+1/2)(v+1/2)}}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2}e^{{\pi}i{\tau}n+2{\pi}ivn+{\pi}in}}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}(1-e^{-2{\pi}iv})\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_2(v;\tau) &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_3(v;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_4(v;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\ \end{align}$

$|e^{2m{\pi}i{\tau}}|<1$であるから$\vartheta_3(v;\tau)$の零点は

$\begin{align} \cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\ \cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\ 2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\ v&=\frac{2n'+1}{2}+\frac{2m'+1}{2}\tau \end{align}$

である。他の関数の零点も同様にして求められる。

$\begin{align} &\vartheta_1(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+m\tau\\ &\vartheta_2(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+m\tau\\ &\vartheta_3(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau\\ &\vartheta_4(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+\frac{2m+1}{2}\tau\\ \end{align}$

テータ定数

$v=0$のときのテータ関数の値をテータ定数(theta constant)、或いはドイツ語でthetanullwerte（テータ零値）という。これは定数といいながら実は$\tau$の関数である。

$\begin{align} \vartheta_2=\vartheta_2(0;\tau) &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_3=\vartheta_3(0;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\begin{align} \vartheta_4=\vartheta_4(0;\tau) &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

$\vartheta_1=\vartheta_1(0;\tau)=0$であるから、代わりに導関数を用いる。

$\begin{align} \vartheta_1'&=\left[\frac{d}{dv}\vartheta_1(v;\tau)\right]_{v=0}\\ &=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\pi\cos(0)\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}+2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin(0)\frac{d}{dv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\ &=2{\pi}e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}\\ \end{align}$

$c=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4/\vartheta_1'$とすると

$\begin{align}c &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ &=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\ \end{align}$

でなるが、オイラーの分割恒等式により、

$\prod_{m-1}^{\infty}\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)=\prod_{m-1}^{\infty}\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^{-1}$

であるから、$c=1$であり、故に$\vartheta_1'=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4$である。

恒等式

テータ関数の間で次の恒等式が成立する。

$\vartheta_3\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+1/2)}=\vartheta_4(v,\tau)$

$\vartheta_2\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2+2\pi{i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta_1(v,\tau)$

$\vartheta_3\left(v+\frac{\tau}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+\tau/2)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2-\pi{i\tau}/4+2\pi{i(n+1/2)v}-\pi{iv}}=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{-\pi{iv}}\vartheta_2(v,\tau)$

疑二重周期と併せて

$\vartheta_1\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\pm\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_2\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\mp\vartheta_1(v;\tau)$

$\vartheta_3\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_4(v;\tau)$

$\vartheta_4\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_1\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_4(v;\tau)$

$\vartheta_2\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_3(v;\tau)$

$\vartheta_3\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_2(v;\tau)$

$\vartheta_4\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_1(v;\tau)$

次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。

$\begin{align} \vartheta_{1} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= i e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_1 \left(v, \tau\right),\\ \vartheta_{2} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{4} \left(v, \tau \right),\\ \vartheta_{3} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi / 4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{3} \left(v, \tau \right),\\ \vartheta_{4} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{2} \left(v, \tau \right). \end{align}$

他に$\tau$を変換するものとして

$\vartheta_3\left(v,\tau+1\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}(\tau+1)n^2+2\pi{i}nv}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}=\vartheta_4(v,\tau)$

$\begin{align}\vartheta_3\left(v,\tau\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\ &=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)+\vartheta_2\left(2v,4\tau\right) \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_4\left(v,\tau\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}-\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\ &=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)-\vartheta_2\left(2v,4\tau\right) \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^2 &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\ &=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2 \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_4\left(0,\tau\right)^2 &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\ &=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2 \end{align}$

$\begin{align}\vartheta_2\left(0,\tau\right)^2 &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m+1/2)^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(n+1/2)^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{\left((m+1/2)^2+(n+1/2)^2\right)}}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n+1)^2+(m-n)^2\right)/2}\\ &=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+2)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\ &=2\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right) \end{align}$

これにより

$\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^4-\vartheta_4\left(0,\tau\right)^4 &=\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2-\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2\\ &=4\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\\ &=\vartheta_2\left(0,\tau\right)^4 \end{align}$

ランデンの公式

次の恒等式はランデン(Landen)の公式という。

$\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_4(2v,2\tau)=\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)$

$\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_1(2v,2\tau)=\vartheta_2(v,\tau)\vartheta_1(v,\tau)$

第一式の左辺を展開すれば

$\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau) &=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{inv}}\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}m^2+2\pi{imv}}\right)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}(n^2+m^2)+2\pi{i(n+m)v}}\\ \end{align}$

となるが、${n}\pm{m}$が奇数の項は${n}\gtrless{m}$で打ち消し合うから

$\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau) &=\sum_{n'=-\infty}^{\infty}\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'-m'}e^{2\pi{i\tau}(n'^2+m'^2)+4\pi{in'v}}\qquad({n}\mapsto{n'+m'},{m}\mapsto{n'-m'})\\ &=\left(\sum_{n'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'}e^{2\pi{i\tau}n'^2+4\pi{in'v}}\right)\left(\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{m'}e^{2\pi{i\tau}m'^2}\right)\\ &=\vartheta_4(2v,2\tau)\vartheta_4(0,2\tau) \end{align}$

となり、右辺を得る。第二式は第一式に$v'=v+\textstyle\frac{\tau}{2}$を代入して得る。

加法定理

例えば

$\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right) &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(x+y)+{\pi}i{\tau}m^2+2{\pi}im(x-y)}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}\left(\tfrac{n+m}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(\tfrac{n+m}{2}\right)x+2{\pi}i{\tau}\left(\tfrac{n-m}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(\tfrac{n-m}{2}\right)y}\\ \end{align}$

であるが、$n{\pm}m$は共に偶数か共に奇数であるから、$N=\lfloor\tfrac{n+m}{2}\rfloor,M=\lfloor\tfrac{n-m}{2}\rfloor$とすれば

$\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right) &=\sum_{N=-\infty}^{\infty}\sum_{M=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}N^2+4{\pi}iNx+2{\pi}i{\tau}M^2+4{\pi}iMy}\qquad(n{\pm}m\;\mbox{even})\\ &\quad+\sum_{N=-\infty}^{\infty}\sum_{M=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}\left(N+\tfrac{1}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(N+\tfrac{1}{2}\right)x+2{\pi}i{\tau}\left(M+\tfrac{1}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(M+\tfrac{1}{2}\right)y}\qquad(n{\pm}m\;\mbox{odd})\\ &=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right) \end{align}$

となる。ここで$x\mapsto{x+\tfrac{1}{2}\tau}$とすれば

$\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)$

となり、$x\mapsto{x+\tfrac{1}{2}}$とすれば

$\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)$

となる。これらにより

$\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau) &=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3^{\;2}\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(0,2\tau\right)\right)\\ &=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\ &\quad+\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\ &=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right) \end{align}$

が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ \end{align}$

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ \end{align}$

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\ \end{align}$

$\begin{align} &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)\\ &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_3(y,\tau)\\ &\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_2(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)\\ \end{align}$

$x=y=z$とすれば

$\begin{align} &\vartheta_1\left(2z,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=2\vartheta_1\left(z,\tau\right)\vartheta_2(z,\tau)\vartheta_3(z,\tau)\vartheta_4(z,\tau)\\ &\vartheta_2\left(2z,\tau\right)\vartheta_2^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\ &\vartheta_3\left(2z,\tau\right)\vartheta_3^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\ &\vartheta_4\left(2z,\tau\right)\vartheta_4^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)\\ \end{align}$

などが得られ、更に$z=0$とすれば

$\vartheta_3^{\;4}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(0,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(0,\tau\right)$

が得られる。

対数微分

無限乗積表示

$\vartheta_1(v,\tau)=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}$

の対数微分により

$\begin{align}\frac{\vartheta_1'(v,\tau)}{\vartheta_1(v,\tau)}&=\frac{\partial}{\partial{v}}\log\vartheta_1(v,\tau)\\ &=\frac{\pi\cos\pi{v}}{\sin\pi{v}}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}\\ &=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{2\pi{inv}}\right)+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{-2\pi{inv}}\right)\\ &=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}\right)\left(e^{2\pi{inv}}-e^{-2\pi{inv}}\right)\\ &=\pi\cot\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \end{align}$

である。同様に

$\begin{align} \frac{\vartheta_2'(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}&=-\pi\tan\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^n}e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \frac{\vartheta_3'(v,\tau)}{\vartheta_3(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^n}e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \frac{\vartheta_4'(v,\tau)}{\vartheta_4(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\ \end{align}$

である。

関連項目

• ヤコビ
• リーマン
• 代数幾何学