テータ関数

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テータ関数(テータかんすう、theta function)は、

\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}.

で定義される関数のことである。それ以外にも、指標付きのテータ関数\vartheta_{ab}(z,\tau)、ヤコビのテータ関数、楕円テータ関数\vartheta_{i}(z, \tau)と呼ばれる一連のテータ関数が存在する。 指標付きのテータ関数や楕円テータ関数は、その定義にいくつかの流儀があり、同じ記号を使いながら違ったものを指していることがあるので注意が必要である。 これらの関数は、zの関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、\tauの関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。

テータ関数の定義[編集]

テータ関数は次のように定義される関数のことを指す[1]

\vartheta(z, \tau) := \sum^{\infty}_{n=-\infty}e^{\pi i n^{2} \tau + 2 \pi i n z}.

テータ関数をzの関数と見た場合、周期1の周期関数である[2]

\vartheta(z + 1, \tau) = \vartheta(z, \tau).

一般には以下の等式を満たす[2]

\vartheta(z + m \tau + n, \tau) = e^{- \pi i m^{2} \tau - 2 \pi i m z} \vartheta(z, \tau).

ヤコビのテータ関数の定義[編集]

ヤコビのテータ関数は狭義の意味では次の関数のことを指す[3]


\begin{align}
\Theta(u)
&:= \left(\frac{2 k' K}{\pi}\right)^{1/2}\exp\left(\int^{u}_0 \mathrm{d}t~ Z(t)\right),\\
\Theta_{1}(u)
&:= \Theta(u + K).
\end{align}

ただし、k':=\sqrt{1 - k^{2}\,}は補母数、K = K(k)第1種完全楕円積分Z(u)はヤコビのツェータ関数[4]


\begin{align}
Z(u) &:=  \mathcal{E}(u) - \frac{E(k) u}{K(k)},\\
\mathcal{E}(u) &:= \int^{u}_{0} \mathrm{d}t\, \mathrm{dn}^{2} t
= \int^{\mathrm{sn} u}_{0} \mathrm{d}t \sqrt{\frac{1 - k^{2} t^{2}}{1 - t^{2}}}
= \int^{\mathrm{am} u}_{0} \mathrm{d}\theta \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} \theta},
\end{align}

\mathcal{E}(u)はヤコビのイプシロン関数、 E(k)第2種完全楕円積分\mathrm{sn}\, u = \mathrm{sn}(u , k)dn\, u = dn(u, k)ヤコビの楕円函数英語版\mathrm{am}\, u = \mathrm{am} (u, k)は振幅関数である。

また、ヤコビのエータ関数[5]


\begin{align}
H(u) &:= -i \exp\left((2 u + i K') \pi i /(4 K)\right) \Theta(u + i K'),
\quad i := \sqrt{-1\,},\\
H_{1}(u) &:= H(u + K),
\end{align}

を含めて、\Theta(u)\Theta_{1}(u)H(u)H_{1}(u)のことをヤコビのテータ関数と呼ぶこともある[6]。ただし、K' := K(k')である。ヤコビのテータ関数は、後述の楕円テータ関数と以下の関係で結ばれている[7]


\begin{align}
\Theta(u) &= \vartheta_{0}(u/(2 \omega_{1})),\quad \Theta_{1}(u) = \vartheta_{3}(u / (2 \omega_1)),\\
H(u) &= \vartheta_{1}(u/(2 \omega_{1}),\quad H_{1}(u) = \vartheta_{2}(u/(2 \omega_{1})),
\end{align}

ただし、\omega_{1}は、楕円関数の基本周期の半分で、\tau = \omega_{3}/ \omega_{1}である。(2 \omega_{1}2 \omega_{3}が楕円関数の基本周期に相当する。)[8]

物理の教科書(たとえば、M.B.Green, J.H.Schwarz and E.Witten, Superstring Theory vol.1 and 2やL.S.Schulman, Techniques and Applications of Path Integrationなど)では後述の\vartheta_{i}(z, \tau)をヤコビのテータ関数と呼んでいるが、やや不正確な言い方である。

指標付きのテータ関数の定義[編集]

以下のように定義された、添え字を2つ持つテータ関数のことを指標付きのテータ関数と呼ぶ[9]

\vartheta_{a,b}(z, \tau) :=\sum^\infty_{n=-\infty} e^{\pi i (n + a)^{2} \tau + 2 \pi i(n + a)(z + b)},\quad a,b \in \mathbb{R}.

なお、指標付きのテータ関数の定義には2つの流儀があって統一的に用いられていないため、文献を読むときには注意しなければならない [10]。 この記事で使われているのは、D.Mumford, Tata lectures on thetaで使われているのと同じ定義である[10]

楕円テータ関数の定義[編集]

楕円テータ関数(だえんテータかんすう、elliptic theta function)は、以下のように定義された関数である[11][12]。 ただし、\mathrm{Im}\,\tau > 0q := e^{\pi i \tau}である。

\begin{align}
\vartheta_0(z,\tau)
&:= \vartheta_{01}(z, \tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau n^{2} + 2 \pi i n \left(z + \frac{1}{2}\right)}\\
&=1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} q^{n^{2}} \cos 2 n \pi z,\\
\vartheta_{1}(z, \tau)
&:= - \vartheta_{11}(z, \tau)
= - \sum_{n=-\infty}^{\infty}
e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^{2} + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right)
\left(z + \frac{1}{2}\right)}\\
&=2\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)^{n} q^{{\left(n + \frac{1}{2}\right)}^2}
\sin(2 n + 1) \pi z},\\
\vartheta_{2}(z, \tau)
&:= \vartheta_{10}(z, \tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i \tau \left(n + \frac{1}{2}\right)^2 + 2 \pi i \left(n + \frac{1}{2}\right)z}\\
&= 2 \sum_{n=0}^{\infty} q^{{\left(n+\frac{1}{2}\right)}^2} \cos (2 n + 1) \pi z,\\
\vartheta_3(z, \tau)
&:= \vartheta_{00}(z, \tau)
= \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{i \pi \tau n^{2} + 2 n z}\\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^{\infty} q^{n^{2}} \cos 2 n \pi z.
\end{align}

楕円テータ関数にも定義に2つの流儀があり、注意が必要である。この記事での定義は、フルヴィッツ・クーランの 「楕円関数論」で用いられたのと同じ定義である[13]。添え字が0から3ではなく、 1から4までの定義もある。 その場合は、\vartheta_{1}(z , \tau)\vartheta_{2}(z, \tau)\vartheta_{3}(z, \tau)の定義は変わらず、 \vartheta_{4}(z, \tau) := \vartheta_{0}(z, \tau)で定義される[14]。 文脈からv或いは\tauが明らかな場合は\vartheta_i(v)或いは\vartheta_i(\tau)と書き、更に\vartheta_i=\vartheta_i(0,\tau)と書く。数式処理ソフトウェアMathematicaでは、\pi vのことをvと書いている。

擬二重周期[編集]

テータ関数は擬二重周期を持つ。

\begin{align}\vartheta_1(v+1;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})}}\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+{\pi}i}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})}}\\
&=-\vartheta_1(v;\tau)\\
\end{align}
\vartheta_2(v+1;\tau)=-\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_3(v+1;\tau)=\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_4(v+1;\tau)=\vartheta_4(v;\tau)
\begin{align}\vartheta_1(v+\tau;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})\tau}}\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+1+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}i(v+\frac{1}{2})}}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+\frac{1}{2}\right)^2+2{\pi}i(n+\frac{1}{2})(v+\frac{1}{2})-{\pi}i{\tau}-2{\pi}iv}}\\
&=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_1(v;\tau)
\end{align}
\vartheta_2(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_3(v+\tau;\tau)=e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_4(v+\tau;\tau)=-e^{-{\pi}i\tau}e^{-2{\pi}i{v}}\vartheta_4(v;\tau)

無限乗積表示と零点[編集]

ヤコビの三重積の公式により、

\begin{align}
\vartheta_1(v;\tau)
&=-\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}\left(n+1/2\right)^2}e^{2{\pi}i(n+1/2)(v+1/2)}}\\
&=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\sum_{n=-\infty}^{\infty}{e^{{\pi}i{\tau}n^2}e^{{\pi}i{\tau}n+2{\pi}ivn+{\pi}in}}\\
&=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-2){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=-ie^{{\pi}i{\tau}/4}e^{{\pi}iv}(1-e^{-2{\pi}iv})\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_2(v;\tau)
&=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\cos{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{2m{\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{4m{\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_3(v;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_4(v;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-2e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\cos{2{\pi}v}+e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)}\\
\end{align}

|e^{2m{\pi}i{\tau}}|<1であるから\vartheta_3(v;\tau)の零点は

\begin{align}
\cos{2{\pi}v}&=-\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}}}{2}\\
\cos{2{\pi}v}&=\frac{e^{(2m-1){\pi}i{\tau}+{\pi}i}+e^{-(2m-1){\pi}i{\tau}-{\pi}i}}{2}\\
2{\pi}v&=\left((2m-1){\pi}{\tau}+{\pi}\right)\pm2{\pi}n\\
v&=\frac{2n'+1}{2}+\frac{2m'+1}{2}\tau
\end{align}

である。他の関数の零点も同様にして求められる。

\begin{align}
&\vartheta_1(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+m\tau\\
&\vartheta_2(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+m\tau\\
&\vartheta_3(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=\frac{2n+1}{2}+\frac{2m+1}{2}\tau\\
&\vartheta_4(v;\tau)=0\;\Leftrightarrow\;v=n+\frac{2m+1}{2}\tau\\
\end{align}

テータ定数[編集]

v=0のときのテータ関数の値をテータ定数(theta constant)、或いはドイツ語でthetanullwerte(テータ零値)という。これは定数といいながら実は\tau関数である。

\begin{align}
\vartheta_2=\vartheta_2(0;\tau)
&=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_3=\vartheta_3(0;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}
\begin{align}
\vartheta_4=\vartheta_4(0;\tau)
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}

\vartheta_1=\vartheta_1(0;\tau)=0であるから、代わりに導関数を用いる。

\begin{align}
\vartheta_1'&=\left[\frac{d}{dv}\vartheta_1(v;\tau)\right]_{v=0}\\
&=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\pi\cos(0)\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}+2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin(0)\frac{d}{dv}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}\\
&=2{\pi}e^{{\pi}i{\tau}/4}\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^3}\\
\end{align}

c=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4/\vartheta_1'とすると

\begin{align}c
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1+e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
&=\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)^2\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^2}\\
\end{align}

でなるが、オイラーの分割恒等式により、

\prod_{m-1}^{\infty}\left(1+e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)=\prod_{m-1}^{\infty}\left(1-e^{2(2m-1){\pi}i{\tau}}\right)^{-1}

であるから、c=1であり、故に\vartheta_1'=\pi\vartheta_2\vartheta_3\vartheta_4である。

恒等式[編集]

テータ関数の間で次の恒等式が成立する。

\vartheta_3\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+1/2)}=\vartheta_4(v,\tau)
\vartheta_2\left(v+\frac{1}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2+2\pi{i(n+1/2)}(v+1/2)}=-\vartheta_1(v,\tau)
\vartheta_3\left(v+\frac{\tau}{2},\tau\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{in}(v+\tau/2)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}(n+1/2)^2-\pi{i\tau}/4+2\pi{i(n+1/2)v}-\pi{iv}}=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{-\pi{iv}}\vartheta_2(v,\tau)

疑二重周期と併せて

\vartheta_1\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\pm\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_2\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\mp\vartheta_1(v;\tau)
\vartheta_3\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_4(v;\tau)
\vartheta_4\left(v\pm\frac{1}{2},\tau\right)=\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_1\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_4(v;\tau)
\vartheta_2\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_3(v;\tau)
\vartheta_3\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_2(v;\tau)
\vartheta_4\left(v\pm\frac{\tau}{2},\tau\right)=\pm{i}e^{-\pi{i\tau}/4}e^{\mp\pi{i}v}\vartheta_1(v;\tau)

次の恒等式はヤコビの虚数変換式という。


\begin{align}
\vartheta_{1} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= i e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_1 \left(v, \tau\right),\\
\vartheta_{2} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{4} \left(v, \tau \right),\\
\vartheta_{3} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi / 4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{3} \left(v, \tau \right),\\
\vartheta_{4} \left(\frac{v}{\tau}, -\frac{1}{\tau}\right) &= e^{-i \pi /4} \tau^{1/2} e^{\pi i v^{2}/\tau} \vartheta_{2} \left(v, \tau \right).
\end{align}

他に\tauを変換するものとして

\vartheta_3\left(v,\tau+1\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}(\tau+1)n^2+2\pi{i}nv}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}=\vartheta_4(v,\tau)
\begin{align}\vartheta_3\left(v,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}+\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\
&=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)+\vartheta_2\left(2v,4\tau\right)
\end{align}
\begin{align}\vartheta_4\left(v,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}+2\pi{i}nv}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n)^2}+2\pi{i}(2n)v}-\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(2n+1)^2}+2\pi{i}(2n+1)v}\qquad({n}\mapsto{2n,2n+1})\\
&=\vartheta_3\left(2v,4\tau\right)-\vartheta_2\left(2v,4\tau\right)
\end{align}
\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\
&=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2
\end{align}
\begin{align}\vartheta_4\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i}\tau{m^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n}e^{\pi{i}\tau{n^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau{(m^2+n^2)}}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{m+n}e^{\pi{i}\tau\left((m+n)^2+(m-n)^2\right)/2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m)^2+(2n)^2\right)/2}-\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\
&=\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2
\end{align}
\begin{align}\vartheta_2\left(0,\tau\right)^2
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(m+1/2)^2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{(n+1/2)^2}}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau{\left((m+1/2)^2+(n+1/2)^2\right)}}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((m+n+1)^2+(m-n)^2\right)/2}\\
&=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+1)^2+(2n)^2\right)/2}+\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i}\tau\left((2m+2)^2+(2n+1)^2\right)/2}\qquad(\left\lfloor\textstyle\frac{m+n}{2}\right\rfloor\mapsto{m},\left\lfloor\textstyle\frac{m-n}{2}\right\rfloor\mapsto{n})\\
&=2\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)
\end{align}

これにより

\begin{align}\vartheta_3\left(0,\tau\right)^4-\vartheta_4\left(0,\tau\right)^4
&=\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2+\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2-\left(\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2-\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\right)^2\\
&=4\vartheta_3\left(0,2\tau\right)^2\vartheta_2\left(0,2\tau\right)^2\\
&=\vartheta_2\left(0,\tau\right)^4
\end{align}

ランデンの公式[編集]

次の恒等式はランデン(Landen)の公式という。

\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_4(2v,2\tau)=\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)
\vartheta_4(0,2\tau)\vartheta_1(2v,2\tau)=\vartheta_2(v,\tau)\vartheta_1(v,\tau)

第一式の左辺を展開すれば

\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)
&=\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi{i\tau}n^2+2\pi{inv}}\right)\left(\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}m^2+2\pi{imv}}\right)\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}(-1)^{m}e^{\pi{i\tau}(n^2+m^2)+2\pi{i(n+m)v}}\\
\end{align}

となるが、{n}\pm{m}が奇数の項は{n}\gtrless{m}で打ち消し合うから

\begin{align}\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)
&=\sum_{n'=-\infty}^{\infty}\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'-m'}e^{2\pi{i\tau}(n'^2+m'^2)+4\pi{in'v}}\qquad({n}\mapsto{n'+m'},{m}\mapsto{n'-m'})\\
&=\left(\sum_{n'=-\infty}^{\infty}(-1)^{n'}e^{2\pi{i\tau}n'^2+4\pi{in'v}}\right)\left(\sum_{m'=-\infty}^{\infty}(-1)^{m'}e^{2\pi{i\tau}m'^2}\right)\\
&=\vartheta_4(2v,2\tau)\vartheta_4(0,2\tau)
\end{align}

となり、右辺を得る。第二式は第一式にv'=v+\textstyle\frac{\tau}{2}を代入して得る。

加法定理[編集]

例えば

\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{{\pi}i{\tau}n^2+2{\pi}in(x+y)+{\pi}i{\tau}m^2+2{\pi}im(x-y)}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}\left(\tfrac{n+m}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(\tfrac{n+m}{2}\right)x+2{\pi}i{\tau}\left(\tfrac{n-m}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(\tfrac{n-m}{2}\right)y}\\
\end{align}

であるが、n{\pm}mは共に偶数か共に奇数であるから、N=\lfloor\tfrac{n+m}{2}\rfloor,M=\lfloor\tfrac{n-m}{2}\rfloorとすれば

\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)
&=\sum_{N=-\infty}^{\infty}\sum_{M=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}N^2+4{\pi}iNx+2{\pi}i{\tau}M^2+4{\pi}iMy}\qquad(n{\pm}m\;\mbox{even})\\
&\quad+\sum_{N=-\infty}^{\infty}\sum_{M=-\infty}^{\infty}e^{2{\pi}i{\tau}\left(N+\tfrac{1}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(N+\tfrac{1}{2}\right)x+2{\pi}i{\tau}\left(M+\tfrac{1}{2}\right)^2+4{\pi}i\left(M+\tfrac{1}{2}\right)y}\qquad(n{\pm}m\;\mbox{odd})\\
&=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)
\end{align}

となる。ここでx\mapsto{x+\tfrac{1}{2}\tau}とすれば

\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)

となり、x\mapsto{x+\tfrac{1}{2}}とすれば

\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)=\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)

となる。これらにより

\begin{align}\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)
&=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3^{\;2}\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(0,2\tau\right)\right)\\
&=\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)+\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)+\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\
&\quad+\left(\vartheta_3\left(2x,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2x,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\left(\vartheta_3\left(2y,2\tau\right)\vartheta_3\left(0,2\tau\right)-\vartheta_2\left(2y,2\tau\right)\vartheta_2\left(0,2\tau\right)\right)\\
&=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)
\end{align}

が得られ、同様にして数十もの恒等式が得られる。

\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
\end{align}
\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)+\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
\end{align}
\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_1\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_2\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_4^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_1^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_1^{\;2}\left(y,\tau\right)=\vartheta_3^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_3^{\;2}\left(y,\tau\right)-\vartheta_2^{\;2}\left(x,\tau\right)\vartheta_2^{\;2}\left(y,\tau\right)\\
\end{align}
\begin{align}
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_2\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)\\
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_3\left(x-y,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)+\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_3(y,\tau)\\
&\vartheta_1\left(x+y,\tau\right)\vartheta_4\left(x-y,\tau\right)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_2(0,\tau)=\vartheta_1\left(x,\tau\right)\vartheta_4\left(x,\tau\right)\vartheta_3(y,\tau)\vartheta_2(y,\tau)+\vartheta_3\left(x,\tau\right)\vartheta_2\left(x,\tau\right)\vartheta_1(y,\tau)\vartheta_4(y,\tau)\\
\end{align}

x=y=zとすれば

\begin{align}
&\vartheta_1\left(2z,\tau\right)\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)=2\vartheta_1\left(z,\tau\right)\vartheta_2(z,\tau)\vartheta_3(z,\tau)\vartheta_4(z,\tau)\\
&\vartheta_2\left(2z,\tau\right)\vartheta_2^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\
&\vartheta_3\left(2z,\tau\right)\vartheta_3^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)\\
&\vartheta_4\left(2z,\tau\right)\vartheta_4^{\;3}(0,\tau)=\vartheta_4^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_1^{\;4}\left(z,\tau\right)=\vartheta_3^{\;4}\left(z,\tau\right)-\vartheta_2^{\;4}\left(z,\tau\right)\\
\end{align}

などが得られ、更にz=0とすれば

\vartheta_3^{\;4}(0,\tau)=\vartheta_2^{\;4}\left(0,\tau\right)+\vartheta_4^{\;4}\left(0,\tau\right)

が得られる。

対数微分[編集]

無限乗積表示

\vartheta_1(v,\tau)=2e^{{\pi}i{\tau}/4}\sin{\pi}v\prod_{m=1}^{\infty}{\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{2{\pi}iv}\right)\left(1-e^{2m{\pi}i{\tau}}e^{-2{\pi}iv}\right)}

の対数微分により

\begin{align}\frac{\vartheta_1'(v,\tau)}{\vartheta_1(v,\tau)}&=\frac{\partial}{\partial{v}}\log\vartheta_1(v,\tau)\\
&=\frac{\pi\cos\pi{v}}{\sin\pi{v}}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{2\pi{iv}}}+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}{1-e^{2m\pi{i\tau}}e^{-2\pi{iv}}}\\
&=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{2\pi{inv}}\right)+2\pi{i}\sum_{m=1}^{\infty}\left(\sum_{n=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}e^{-2\pi{inv}}\right)\\
&=\pi\cot\pi{v}-2\pi{i}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sum_{m=1}^{\infty}e^{2mn\pi{i\tau}}\right)\left(e^{2\pi{inv}}-e^{-2\pi{inv}}\right)\\
&=\pi\cot\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\end{align}

である。同様に

\begin{align}
\frac{\vartheta_2'(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}&=-\pi\tan\pi{v}+4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^n}e^{2n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\frac{\vartheta_3'(v,\tau)}{\vartheta_3(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{{(-1)^n}e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\frac{\vartheta_4'(v,\tau)}{\vartheta_4(v,\tau)}&=4\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n\pi{i\tau}}}{1-e^{2n\pi{i\tau}}}\sin2\pi{nv}\\
\end{align}

である。

出典[編集]

  1. ^ 梅村浩著「楕円関数論」東京大学出版会、2000年、ISBN 978-4130613033、p.89.
  2. ^ a b 梅村「楕円関数論」p.90.
  3. ^ 森口繁一・宇田川銈久・一松信共著「岩波数学公式Ⅲ(新装版)」1987年、ISBN 4-00-005509-7、pp.51, 308.
  4. ^ 森口他「岩波数学公式Ⅲ」p.50.
  5. ^ 森口他「岩波数学公式Ⅲ」pp.51, 308.
  6. ^ 森口他「岩波数学公式Ⅲ」p.51.
  7. ^ 森口他「岩波数学公式集Ⅲ」p.51.
  8. ^ 森口他「岩波数学公式集Ⅲ」pp.46, 51.
  9. ^ 梅村「楕円関数論」pp.87, 91.
  10. ^ a b 梅村「楕円関数論」p.118.
  11. ^ 森口他「岩波数学公式Ⅲ」pp.46-51.
  12. ^ 梅村「楕円関数論」p.118.
  13. ^ 梅村「楕円関数論」p.118.
  14. ^ 森口他「岩波数学公式Ⅲ」p.46.

関連項目[編集]