最大公約数

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最大公約数(さいだいこうやくすう、: greatest common divisor)とは、少なくとも1個が0ではない複数の整数公約数のうち最大のものを指す。

しばしば「G.C.D.」や「G.C.M. (Greatest Common Measure)」、「G.C.F. (Greatest Common Factor)」、「H.C.F. (Highest Common Factor)」等の省略形で記述される。

定義[編集]

2つ以上の整数 a_1,\ldots ,a_nの最大公約数とは、a_1,\ldots, a_n の公約数のうち最大の正整数である。

つまり、a_1,\ldots, a_n

a_j =\varepsilon_j\prod_{p\;\mathrm{prime}} p^{e_p (j)} \quad (e_p (j)\ge 0,\;\varepsilon_j =\pm 1)

素因数分解したとき、a_1,\ldots, a_n の最大公約数は

\prod_{p\;\mathrm{prime}} p^{\min\{e_p(1),\ldots ,e_p(n)\}}

で与えられる。

例えば、30 と 42 の公約数は 1, 2, 3, 6 であるから、最大公約数は 6 である。

諸概念[編集]

2つ以上の整数 a_1,\ldots, a_n の最大公約数が1 であるとき、a_1,\ldots, a_n互いに素であるという。

正整数 a, b に対して、ab の最大公約数 gcd (a, b)最小公倍数 lcm (a, b) との間には

\operatorname{gcd} (a,b)\cdot \operatorname{lcm} (a,b)=ab

という関係がある。

しかし、この関係式は3つ以上の正整数に対しては一般には成立しない。例えば、a = 2, b = 6, c = 15 とすると、gcd (a, b, c) = 1, lcm (a, b, c) = 30 であるが、abc = 180 である。

多項式の最大公約数[編集]

多項式の公約数のうち、最も次数の高いものも最大公約数という。例えば、x^3 -xx^3 +x^2 -x-1 の最大公約数は x^2 -1 である。

多項式の最大公約数は、定数倍を除いて一意に決まる。

一般の環の場合[編集]

一般にGCD整域(例えば一意分解整域)においても、最大公約数が(単元倍を除いて一意に)存在する。

参考文献[編集]

  • 高木貞治 『初等整数論講義第2版』 共立出版、東京、1971年

関連項目[編集]