テトレーション

テトレーション (tetration) は、冪乗の次の、4番目のハイパー演算である。つまり、自らの冪乗を指定された回数反復する演算である。

超冪（ちょうべき）ともいう。ただし、超冪は n ≥ 4 番目の一般のハイパー演算を総称することもある。

第1から第4のハイパー演算は次のとおり。

1. 加算 (hyper1) $a + b = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_b$
2. 乗算 (hyper2) $a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_b$
3. 冪乗 (hyper3) $a^b = a \uparrow b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_b$
4. テトレーション (hyper4) $^b a = a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_b = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_b$

テトレーションは初等関数である。

aを底（てい）、bを高さという。

なお、冪乗の演算の優先順位は右（右上）からである。つまり、

$a ^ {b ^ c} = a ^ \left( b ^ c \right) \ne \left( a ^ b \right) ^ c$、

$a \uparrow b \uparrow \cdots \uparrow y \uparrow z = a \uparrow (b \uparrow (\cdots \uparrow (y \uparrow z))) \ne (((a \uparrow b) \uparrow \cdots) \uparrow y) \uparrow z$。

記法

テトレーションを表すにはいくつか等価な記法がある。

• $^b a\,$
• $a \uparrow\uparrow b$ （クヌースの矢印表記）
• $a \rightarrow b \rightarrow 2$ （コンウェイのチェーン表記）
• $a ^ {(4)} b\,$ （ハイパー演算子、正しくは④を用いる）
• $\operatorname{hyper4}(a,b)$ （ハイパー演算子の関数形式）
• $\operatorname{hyper}(a,4,b)$ （ハイパー演算子の3変数関数形式）
• $\exp_a^b 1$ （反復指数関数）

例

$\exp_a^b x$は反復指数関数で、

$\exp_a^b x = (a \uparrow)^b x = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_b \uparrow x$。

$n$	${}^{2}n$	${}^{3}n$	${}^{4}n$
0	1	0	1
1	1	1	1
2	4	16	65,536
3	27	7,625,597,484,987	$\approx \exp_{10}^3(1.09902)$
4	256	$\approx \exp_{10}^2(2.18788)$	$\approx \exp_{10}^3(2.18726)$
5	3,125	$\approx \exp_{10}^2(3.33931)$	$\approx \exp_{10}^3(3.33928)$
6	46,656	$\approx \exp_{10}^2(4.55997)$	$\approx \exp_{10}^3(4.55997)$
7	823,543	$\approx \exp_{10}^2(5.84259)$	$\approx \exp_{10}^3(5.84259)$
8	16,777,216	$\approx \exp_{10}^2(7.18045)$	$\approx \exp_{10}^3(7.18045)$
9	387,420,489	$\approx \exp_{10}^2(8.56784)$	$\approx \exp_{10}^3(8.56784)$
10	10,000,000,000	$\exp_{10}^3(1)$	$\exp_{10}^4(1)$

拡張

テトレーションは、高さが自然数以外の場合に拡張できる。

底が0

$0^0$ が単純には定義できないため、$^k 0$ は直接には定義できないが、極限が

$\lim_{n \rightarrow 0} {} ^ {k} n \rightarrow \begin{cases} 1, & k \in 2\mathbb{Z} \\ 0, & k \in 2\mathbb{Z} + 1 \end{cases}$

と収束するため、

${}^{k}0 = \begin{cases} 1, & k \in 2\mathbb{Z} \\ 0, & k \in 2\mathbb{Z} + 1 \end{cases}$

と定義する。（$2\mathbb{Z}, 2\mathbb{Z} + 1$ は偶数、奇数）

たとえば、

${}^0 0 = 1, \ {}^1 0 = 0, \ {}^2 0 = 1 \,$。

なおここで、$0^0$ が一意に決まらないにもかかわらず ${}^2 0 ( = 0 ^ 0)$ が定義できるのは、$a ^ b$ の a と b が等しいという条件下で極限を取ったからである。

高さが∞

$y = {}^\infty x$

ある範囲の x （実数では $e ^ {-e} < x < e ^ \frac{1}{e}$） に対し、$\lim_{k \rightarrow \infty} {}^k x$ は収束するため、その極限を ${}^\infty x$ と定義する。

極限が存在するとは ${}^\infty x = x ^ {{}^\infty x}$ が成立するということなので、一般の複素底 z に対して、

${}^\infty z = -\frac{\operatorname{W} (- \ln{z})}{\ln{z}}$

が成り立つ。WはランベルトのW関数。

高さが非正

定義より

${}^{k}n = \log_n \left\{{}^{(k+1)}n \right\}$

が成り立つので、この関係を k ≤ 0 に対しても帰納的に拡張し

$\begin{array}{rclclcccc} {}^{1}n & = & \log_n \left({}^{2}n\right) & = & \log_{n} \left(n^n\right) & = & n \log_{n} n & = & n \\ {}^{0}n & = & \log_{n} \left({}^{1}n\right) & = & \log_{n} n & & & = & 1 \\ {}^{-1}n & = & \log_{n} \left({}^{0}n\right) & = & \log_{n} 1 & & & = & 0 \end{array}$

と定義する。

ただし、定義できるのは k = -1 までで、log 0 が存在しないため k = -2 に対しては定義できず、したがって k ≤ -2 に対して定義できない。