加法

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加法（かほう、addition, summation）とは、数を合わせることを意味する二項演算あるいは多項演算で、いわゆる四則演算のひとつ。足し算（たしざん）、寄せ算（よせざん）、加算（かさん）とも呼ばれる。また、加法の演算結果を和（わ、sum）という。

自然数においては加法とはものの個数を加え合わせることであり、それは数の拡張にしたがってさらに広い範囲の数に対する加法を定める。

減法とは互いに逆の関係にあり、また例えば、整数同士の加法においては負の整数の加法として減法が捉えられるなど、加法と減法の関連は深い。これは代数学において加法群の概念として抽象化される。

無限個の数を加えること（総和法）については総和の項を参照されるとよいだろう。

目次 1 記法 2 素朴な定義 3 性質 4 関連項目

[編集] 記法

それぞれの項がわかっていて全てを書き表すことができるとき、それらの和は記号 "+" を用いて表す。たとえば、1, 5, 8 の和は

1 + 5 + 8

と記される。これは 14 に等しい。このことは等式として

1 + 5 + 8 = 14

と表わされる。

また、全てを書き表すことができなくても、暗に何らかの規則性がある場合には間を記号 "…" で省略して表すことがある。たとえば、1 から 100 までの自然数の和は

1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050

のように書き表す。ただしこのような場合は、記号 ∑ を用いて書き表すほうが規則性が陽に表すことができて便利であり紛れがない（総和の項参照）。

[編集] 素朴な定義

自然数の加法は、ものの個数を加え合わせることによって定義される。そのため自然数の和は、そのいずれの項よりも大きくなる。数の概念を整数やもっと広い範囲へ拡張することにより加法と減法の概念は統合される。

[編集] 性質

数の加法のみに注目してその性質を挙げると以下のようなものがある。

• 対称性（交換法則）: n + m = m + n

  有限個の数を足すときは、順番を入れ替えて計算しても和は変わらない（ただし、無限個の数を足す場合は順番を入れ替えてはならない）。

  • 例: 1 + 3 + 9 = 1 + 9 + 3 = 13

• 推移性（結合法則）: (n + m) + l = n + (m + l) = n + m + l

  有限個の数を足すためには、どこから加えていっても結果は同じである。

これらは抽象代数学においては "加法" と呼ぶべきものの満たすべき公理的な性質と見なされる。他にも

• ある数に 0 を加えても変化しない。

4 + 0 =4

• ある数と、絶対値が同じで符号の異なる数との和は 0 である。

(-4) + (+4) = 0

などが加法に関する性質として挙げられる。

[編集] 関連項目

• 総和
• 減法
• 乗法
• 除法
• 四則演算