イプシロン-デルタ論法

ε-δ 論法（イプシロンデルタろんぽう、(ε, δ)-definition of limit）とは、解析学において、無限小や無限大を用いず、有限な大きさの実数を値にとる変数 ε や δ などを用いて極限を扱う方法である。

歴史的背景

ニュートンとライプニッツによって創設された微分積分学は、その根底において無限小（どんな正の数よりも小さな正の数）や無限大（どんな数よりも大きな数）といった実数の範囲では定義できない概念を使っており、この状況は18世紀に入ってオイラーらによって微分積分学が大きな発展を遂げるようになっても改善されなかった。級数の発散や収束に関する議論には無頓着なままで理論を発展させていったため、誤った結論に導かれてしまうことがしばしばあった。19世紀に入ってコーシーやボルツァーノらによって微分積分学をしっかりとした基盤の上に再構築しようとする試みがなされ、収束や連続はよりはっきりと捉えられるようになったが、しかし連続と一様連続の区別はなかったためにコーシーは自著の中でそのことに起因する誤りをおかしている。

コーシーは関数の連続性を無限小を使って定義したが、無限小概念でうまくいかない場合には、『解析教程』(Cours d'analyse de l'Ecole royale polytechnique) におけるように、ε-δ 論法の形で不等式を使って基礎づけを行うこともあった。ε-δ 論法は1860年代のカール・ワイエルシュトラスの講義によって完成されたもので、これによって無限小や無限大という概念を一切出さずに収束・連続を議論できるようになった。εは"error"、δは"distance"の頭文字であると理解するのが妥当である。実際、コーシーは彼の著作の中でεを"error"の省略として用いている。 数学史において、コーシーは、イプシロン-デルタ論法は、微積分学を完成させたとする評価もある。実際、微積分学の多くの定理の内、特に、関数の極限に関する定理の多くが、このイプシロン-デルタ論法によって証明される事には、驚くべき物がある。数学教育の場では、高校の数学教育でこれを教えるべきだとする意見が根強くあった一方で、大学においてすら、これを不要と見なす意見もあり、イプシロン-デルタ論法を教える事の必要性については、数学教育における古くて新しい論争が存在する。

なお、ライプニッツ流の無限小・無限大を用いる解析も現代では超実数を用いることで正当化されている。これに関連する事柄は、超準解析（Non-standard analysis または古典的に無限小解析 Infinitesimal analysis とも呼ばれる）という分野で研究されている。

関数値の収束

関数 f(x) に対して、極限の式

$\lim_{x \to a}f(x) = b$

を ε-δ 論法で書くと

$\forall \epsilon > 0,\quad \exist \delta > 0\quad \textrm{s.t.}\quad \forall x \isin \mathbb{R},\quad 0 < |x-a| < \delta \rArr |f(x)-b| < \epsilon$

となる。 s.t. は such that の略で ∃ の条件を示し、 s.t. 以後の条件を満たすような正の数 δ が存在するということである。すなわち

任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、 0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 xに対し、 |f(x) − b| < ε が成り立つ。

という意味の式である。極限の式の意味は、この ε-δ 論法によって定義される。

この式が成り立っているとすると0< |x − a| < δ の範囲で実数 x を動かしているうちは、どのように動かしても f(x) と b との差は高々 ε 程度でしかない。 x を a に近付けるという極限操作を行っている最中でもそうである。 ε は任意に選べるので好きなだけ小さくとっておき、それに応じて δ をちゃんと選べば x が0< |x − a| < δ を満たす限り、 f(x) は b からせいぜい ε しか離れてない範囲に留まり続けなければならないのである。

ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。世界中の人が選んだ ε の中で最も小さい数を ε₁ としたとき、ε₁ に対応する δ₁ を選べば 0 < |x − a| < δ₁ ⇒ |f(x) − b| < ε₁ を成り立たせることができるが、ε₁ よりもさらに小さい ε₂ = ε₁/10 という数を考えても同様に対応する δ₂ が存在し 0 < |x − a| < δ₂ ⇒ |f(x) − b| < ε₂ を成り立たせるようにできるということである。ここで何故、小さい数ばかり考えているのかと言えば、今のように ε₂ < ε₁ という大小関係を満たす 2 つの 正の数があったときに、 ε₂ に対して δ₂ を選んでおけば

$0 < |x-a| < \delta _2 \rArr |f(x)-b| < \epsilon _2 < \epsilon _1$

より、δ₂ は ε₁ に対する δ としても使えるからである。小さい ε で δ を与えられるなら、それより大きい ε に対しても δ を与えられる。逆に 小さい ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。

数学的帰納法のように一つの形式を与えるだけで、先の先まで全て捉えることができ、限りなく近付くという極限の概念を有限の値をとる変数だけで説明しているのである。

正の数 ε を任意に選んだとき、条件を満たす正の数 δ が存在するということなので、 δ は ε によって制約を受けている変数である。しかし普通 δ が存在する場合は 1 つとは限らず無数にある。場合に応じて使いやすい δ を 1 つでも見つければ、その存在を示したことになる。例えば

$\lim_{x \to 2} x^2 = 4$

を ε-δ 論法で考えると、 任意の ε に対して δ = √ε +4 −2 と選べば

$0 < |x-2| < \delta = \sqrt{\epsilon+4}-2$

ならば

$|x^2-4| = |x+2||x-2| < (\delta+4)\delta = (\sqrt{\epsilon+4}+2)(\sqrt{\epsilon+4}-2) = \epsilon$

なので

$\forall \epsilon > 0, \quad \exist \delta > 0 \quad \mbox{s.t.} \quad x \isin \mathbb{R}, \quad 0 < |x-2| < \delta \rArr |x^2-4| < \epsilon$

が成り立ち、 x → 2 のとき x² → 4 となることが ε-δ 論法によって示されたことになる。

数列の収束

数列 a₁, a₂, … , a_n, … が極限の式

$\lim_{n \to \infty}a_n = b$

を満たすとは n を大きくしていけば b に限りなく近づいていくということである。

これを ε-δ 論法（ε-N 論法）で考えると

$\forall \epsilon > 0, \quad \exist N \isin\mathbb{N} \quad \mbox{s.t.} \quad \forall n \isin\mathbb{N}, \quad n > N \rArr |a_n-b| < \epsilon$

となる。

任意の正の数 ε に対し、ある適当な自然数 N が存在し、N より大きい全ての自然数nに対して|a_n − b| < ε

が成り立つ。 という意味である。

つまり N をうまく選べば、添字 n が N より大きな a_n は、 b から高々 ε 程度しか離れられないようにできるということである。 ε は自由に選ぶことができるので好きなだけ小さい正の実数を取ればよい。これによって a_n が b に近付くという状況を表現できる。

このように数列の極限を扱う場合は δ ではなく N を使うため ε-δ 論法ではなく ε-N 論法と呼ばれたりもする。

多くの場合 ε-δ 論法では ε が小さくなるにつれて δ も小さくなっていくが、 ε-N 論法では ε が小さくなれば N を大きくしていかなければならない。

例えば a_n = (n+1)/n のとき N > 1/ε となるように N を取れば n > N という条件のもとで

$\left|{n+1 \over n} -1\right| = \left|{1 \over n}\right| < {1 \over N} < \varepsilon$

となるので

$\forall \epsilon > 0, \quad \exist N \isin\mathbb{N} \quad \mbox{s.t.} \quad \forall n \isin\mathbb{N}, \quad n > N \rArr |a_n-1| < \epsilon$

が成り立ち、数列 a_n は 1 に収束するということが ε-N 論法によって示されたことになる。

関数の連続性

実関数 f: R → R が

$\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$

を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。 これを ε-δ 論法で書くと

$\forall \epsilon > 0, \quad \forall a \isin I, \quad \exist \delta > 0 \quad \mbox{s.t.} \quad \forall x \isin I, \quad |x-a| < \delta \rArr |f(x)-f(a)| < \epsilon$

となる。

s.t.句の最初に現れる ∀x ∈ I という条件によって I が閉区間 [p, q] の時もその端点での f(x) の片側連続性

$\lim_{x \to p+0}f(x) = f(p)$

$\lim_{x \to q-0}f(x) = f(q)$

が定義される。半開区間 [p,q) や (p, q] などのときも同様である。

このように連続性を ε-δ 論法で定義した場合 δ は ε と a の両方の選び方に影響を受ける可能性がある。

連続性の定義の条件の順序を変えて

$\forall \epsilon > 0, \quad \exist \delta > 0 \quad \mbox{s.t.} \quad \forall a \isin I, \quad \forall x \isin I, \quad |x-a| < \delta \rArr |f(x)-f(a)| < \epsilon$

とした場合、 δ は ε の選び方だけから制限をうけ、 a の取り方によらない数である。この時 f(x) は I 上で一様連続であるという。

例えば、 I = (0,1] とし、その上で定義された関数 f(x) = ¹⁄_x は、連続であるが一様連続ではない。なぜなら、どんな δ を選んでも、 $a = \min(\delta,1)$, x = ^a⁄_(1+a) のとき

$\left|x-a\right| =\left|{ a \over{1+a}} - a\right|=\left|-{a^2 \over{1+a}}\right|={ a^2 \over{1+a}}<a=\min(\delta,1)\le \delta$

かつ

$\left|{1 \over x} - {1 \over a}\right| = \left|{{1+a} \over a} - {1 \over a}\right| = 1$

であるから、ε ≤ 1 となる ε に対して条件を満たすような δ は存在しない。

この 1 というのは本質的ではなく、この場合は、どんな ε に対しても条件を満たすような δ が存在しないことがわかる。

このように有界な区間上で定義された連続な関数で無限大に発散しているようなものなどが、連続でも一様連続ではない例としてよく用いられる。

関数列の収束

区間 I 上で定義された関数の列 f₀(x), f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), … に対して関数 f(x) が存在し、各 x ∈ I に対して極限の式

$\lim_{n \to \infty}f_n(x) = f(x)$

が成り立つとき、関数列 {f_n(x)} は f(x) に各点収束（かくてんしゅうそく）するという。

この定義を ε-N 論法で書けば

$\forall \epsilon > 0, \quad \forall x \isin I, \quad \exist N \isin \mbox{N} \quad \mbox{s.t.} \quad \forall n \isin \mbox{N}, n > N \rArr |f_n(x)-f(x)| < \epsilon$

となる。 N は ε と x の選び方によって制限を受ける。 x = c などの特定の値で関数列を見たときに f₀(c), f₁(c), f₂(c), …, f_n(c), … が数列として f(c) に収束するという意味である。

条件の順序を変えた

$\forall \epsilon > 0, \quad \exist N \isin \mbox{N} \quad \mbox{s.t.} \quad \forall x \isin I, \quad \forall n \isin \mbox{N}, \quad n > N \rArr |f_n(x)-f(x)| < \epsilon$

が成立するとき、 関数列 {f_n(x)} は f(x) に一様収束（いちようしゅうそく）するという。

この条件は各点収束と違い、N は x と無関係に ε のみに依る、言い換えると区間 I 内の全ての x に共通の N が取れる、という意味である。

例えば I = (0,1) 上で定義される f_n(x) = xⁿ は f(x) = 0 という定数関数に各点収束するが、一様収束はしない。ε を 1 より小に取れば、どのように N を大きく取っても、例えば n = N+1 と ε^1/(N+1) < x < 1 に対して |f_n(x) − f(x)| = xⁿ = x^N+1 > ε となってしまうためである。

I の両端点まで含めた区間[0,1] （ I の閉包）上で考えると f_n(x) = xⁿ は 0 ≤ x < 1 では f(x) = 0 に各点収束し、x = 1 では常に f_n(1) = 1 で f(x) = 0 とは連続ではない。こういった事情が、各点収束なのに一様収束ではないという性質と繋がっている。

関連項目

• 連続 (数学)
• 極限
• はさみうちの原理