ペンテーション

ペンテーション (pentation) は、テトレーションの次の、5番目のハイパー演算である。つまり、自らのテトレーションを指定された回数反復する演算である。

第1から第5のハイパー演算は次のとおり。

1. 加算 (hyper1) $a + b = a + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_b$
2. 乗算 (hyper2) $a \times b = \underbrace{a + a + \cdots + a}_b$
3. 冪乗 (hyper3) $a^b = a \uparrow b = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_b$
4. テトレーション (hyper4) $^b a = a \uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow a \uparrow \cdots \uparrow a}_b = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_b$
5. ペンテーション (hyper5) $a \uparrow\uparrow\uparrow b = \underbrace{a \uparrow\uparrow a \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow a}_b$

ペンテーションは初等関数である。

なお、テトレーションの演算の優先順位は右からである。つまり、

$a \uparrow\uparrow b \uparrow\uparrow \cdots \uparrow\uparrow y \uparrow\uparrow z = a \uparrow\uparrow (b \uparrow\uparrow (\cdots \uparrow\uparrow (y \uparrow\uparrow z))) \ne (((a \uparrow\uparrow b) \uparrow\uparrow \cdots) \uparrow\uparrow y) \uparrow\uparrow z$。

記法

ペンテーションを表すにはいくつか等価な記法がある。

• $a \uparrow\uparrow\uparrow b$ （クヌースの矢印表記）
• $a \rightarrow b \rightarrow 3$ （コンウェイのチェーン表記）
• $a ^ {(5)} b\,$ （ハイパー演算子、正しくは⑤を用いる）
• $\operatorname{hyper5}(a,b)$ （ハイパー演算子の関数形式）
• $\operatorname{hyper}(a,5,b)$ （ハイパー演算子の3変数関数形式）