減法

減法（げんぽう、subtraction）は、一方から一部として他方を取り去る（引く）ことにより両者の間の差異を求める二項演算で、算術の四則と呼ばれるものの 1 つ。計算することの側面を強調して引き算（ひきざん）、減算（げんさん、げんざん）などとも言う。しばしば、減法の演算結果は差（さ、difference）と呼ばれる。

抽象代数学において減法は多くの場合、加法の逆演算として定式化されて加法に統合される。たとえば自然数の間の減法は、整数への数の拡張により、数を引くことと負の数を加えることとが同一視されて、減法は加法の一部となる。またこのとき、常に大きいものから小さいものを減算することしかできない自然数の体系に対して、整数という体系では減算が自由に行えるようになる（整数の全体は、逆演算として減法を内包した加法に関してアーベル群になる）。

初等教育における減法の指導　求残・求補・求差

(問 1)のような問題も、家に残されたカニに注目すれば「カニが３匹残された」という「求残」の問題だが、遊びに行ったカニに注目すれば「あと３匹いれば全員そろう」という「求補」の問題になる。

「カニはカメより何匹多いか」という問題を「カメがあと３匹いればカニと同じ数になる」と考えれば、これは「求補」の問題である。

「カニはカメより何匹多いか」という問題を「カニとカメのペアをつくると、相手がみつからないカニが３匹残る」と考えれば、これは「求残」の問題である。

5-2=3 という式には、すくなくとも３つの解釈が考えられる。

(1) ５つあったところから２つ取り除くと残りは３つである。

(2) ２つあるところに３つ補なえば全部で５つになる。

(3) ５は２よりも３だけ多い。

これらは、いずれも５を２と３の和として捉えているという点で本質的に同じであるが、視点の違いによって３通りの解釈があると考えられる。

算数の文章題を(1),(2),(3)の解釈に関連づけて、それぞれ「求残」「求補」「求差」と呼んで区別すべきであるとする主張がある。 しかし、このような区別は多分に個々人の感覚に依存するものであり、ある者には区別があるように感じられるが、他の者には区別をする必然性を全く感じないこともすくなくない。

(問 1) まりこさんの家にカニが５匹います。そのうち２匹が海に遊びにいきました。いま、まりこさんの家に何匹カニがいますか。

(問 2) まりこさんの家にカニが２匹います。あと何匹いれば５匹になりますか。

(問 3) まりこさんの家にカニが５匹、カメが２匹います。カニはカメより何匹多いですか。

出題者が(問 1),(問 2)をそれぞれ「求残」「求補」の問題として出題したとしても、問題を解く側はそのように考えるとはかぎらない。まりこさんの家に残されたカニの立場で考えれば「３匹残された」ということになるし、遊びに行ったカニの立場で考えれば「あと３匹いれば全員そろう」ということになる。「求残」なのか「求補」なのかは個々人の感覚によって異なるし、そもそもそのような区別じたい考えられないという者もある。

出題者が(問 3)を「求差」の問題として出題したとしても、問題を解く側はそのように考えるとはかぎらない。「カメがあと３匹いればカニと同じ数になる」と考えれば「求補」である。「カニとカメのペアをつくることを考えると、相手がみつからないカニが３匹いる」と考えた者にとっては「求残」である。そもそも「求残」「求補」「求差」を区別することじたい考えられないという者もある。

東京工業大学教授の遠山啓を中心として結成された数学教育協議会は、(問 1)に比べて(問 3)のような問題のほうが児童にとって理解しづらいと報告している。それゆえ、(問 1)のような問題を出題した後で(問 3)のような問題を出題するほうが教育効果が高いと推定される。このように、同様の問題であっても感覚的にわかりづらいことがあるため、教育上の配慮が必要になるという見解がある。 しかし、これは個々人の感覚に依存するものであり、児童の中には、出題者とは異なる正しい考え方で正解に到達する者もあることに注意すべきである。

定義

二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 "+" に対して、数 c が

a + b = c

という関係を満足するとき、演算子 "−" を導入して

b = c − a あるいは a = c − b

と記し、c から a を引いた差は b であるとか b と c の差は a であるなどという。

例えば、2 + 3 = 5 であるので

5 − 3 = 2, 5 − 2 = 3

のような計算が成立する。

正負の数の計算方法

2 数 a, b が以下の条件の場合、a − b は次のように計算する。

2 数の符号が同じ場合

• a の絶対値が b の絶対値より大きい場合
  • a, b ともに正の数のとき
    • a の絶対値から b の絶対値を引き、正の符号をつける。
  • a, b ともに負の数のとき
    • a の絶対値から b の絶対値を引き、負の符号をつける。
• a の絶対値が b の絶対値より小さい場合
  • a, b ともに正の数のとき
    • b の絶対値から a の絶対値を引き、負の符号をつける。
  • a, b ともに負の数のとき
    • b の絶対値から a の絶対値を引き、正の符号をつける。
• a, b の絶対値が等しい場合
  • 差は 0 である。

符号	|a|>|b|	|a|<|b|	|a|=|b|
a≥0,b≥0	a-b	-(b-a)	0
a<0,b<0	-{(-a)-(-b)}	(-b)-(-a)	0
a≥0,b<0	a+(-b)
a<0,b≥0	-{(-a)+b}

2 数の符号が異なる場合

• a が正の数（b が負の数）のとき
  • a の絶対値と b の絶対値を足し、正の符号をつける。
• a が負の数（b が正の数）のとき
  • a の絶対値と b の絶対値を足し、負の符号をつける。

この結果から、減法

a − b

は、 a と、b と絶対値が等しく符号が異なる数である −b との加法と捉えなおすことができる。すなわち、

a − b = a + (−b)

である。減法には交換法則、結合法則は成り立たない

cf. a − b ≠ b − a, (a − b) − c ≠ a − (b − c)

が、加法と捉えなおすことによって、加法の交換法則・結合法則が成り立つ。すなわち、

a − b = a + (−b) = (−b) + a, a − b − c = {a + (−b)} + (−c) = a + {(−b) + (−c)}

とすることができる。

関連項目

• プラス記号とマイナス記号
• 整数
• 差集合