マグマ (数学)

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抽象代数学におけるマグマ (magma)または亜群(あぐん、groupoid)は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × MM からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。

このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキである[* 1]。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群 (groupoid) と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群」("groupoid") と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。

群に似た構造
全域性 結合性 単位的 可逆的
Yes Yes Yes Yes
モノイド Yes Yes Yes No
半群 Yes Yes No No
ループ Yes No Yes Yes
準群 Yes No No Yes
マグマ Yes No No No
亜群 No Yes Yes Yes
No Yes Yes No

定義[編集]

マグマは集合 M と、M のどの二元 a, b に対しても ab で表される別の元を対応させる二項演算 "•" を対として考える。ここで記号 • は適当に定義された何らかの演算というのを一般に表すためのプレースホルダである。集合と演算の組 (M, •) がマグマと呼ばれるためには、マグマの公理として知られる条件

を満足しなければならない。演算が明らかで紛れの虞の無いときは、演算を落として台集合の記号のみによってマグマ M などという。(しばしば中置記法に従う)二項演算 • は、マグマ M における乗法とも呼ばれ、このときの演算結果 abab とのという[* 2]。また、誤解の虞が無いならば積 ab は演算記号を省略してしばしば ab と書かれる。

マグマ (M, ∗) に対し、台となる集合 M の部分集合 NM の演算 ∗ に関するマグマを成すならば、マグマ (N, ∗) を M部分マグマ (submagma) という。

マグマのクラス[編集]

一般には、マグマをそのままマグマとして調べるということはまずあり得ず、代わりに(部分的なクラスに分けるために)マグマの二項演算に適当な公理を課した、いくつかの別な種類の代数系として調べることになる。よく知られたクラスの、特別な名前が付いている代数系としては

といったようなものを挙げることができる。もちろん、特別な呼び方はなくとも、可換マグマや可換モノイドといったような代数系のクラスもしばしば扱われる。

マグマが群であるために課される公理の二系統
マグマから群へ

各符牒は、

  • M: マグマ (magma)
  • Q: 準群 (quasigroup)
  • S: 半群 (semigroup)
  • L: 擬群 (loop)
  • N: モノイド (monoid)
  • G: 群 (group).
  • d: 可除性 (divisibility)
  • a: 結合性 (associativity)
  • e: 単位元をもつ (identity),
  • i: 可逆性 (invertibility)

可除性も可逆性も消約性の成立を含意することに注意。

マグマ準同型[編集]

ふたつのマグマ (M, ∗M), (N, ∗N) の間の準同型写像 (magma morphism/homomorphism) またはマグマ準同型とは写像 f: MN であって、

f(x \underset{M}{{}*{}} y) = f(x) \underset{N}{{}*{}} f(y)

なる意味でマグマの二項演算を保つものをいう。マグマ準同型 f: MN全単射ならば f逆写像 f−1: NM もまたマグマ準同型であり、MN はマグマとして同じ構造を持つと考えられる。このとき、f(および f−1)をマグマ同型写像 (magma isomorphism) またはマグマ同型と呼び、ふたつのマグマ MN は互いに同型 (isomorphic) であるという。

マグマ合同と剰余マグマ[編集]

マグマ (M, •) と台集合 M 上の同値関係 ∼ が与えられているとき、同値関係 ∼ がマグマ合同であるとは

x\sim y,\, u\sim v \Longrightarrow x\bullet u \sim y\bullet v

が任意の x, y, u, vM に対して成り立つという意味でマグマ演算 • と両立することをいう。∼ がマグマ合同であるとき、∼ による合同類の全体

M/{\sim} := \{[x] \mid x\in M\} \quad ([x] := \{z \in M \mid x\sim z\})

に二項演算 o が

[x] \circ [u] := [x\bullet u]

とおくことにより矛盾なく定まり、(M/∼, o) は再びマグマを成す。これをマグマ M のマグマ合同 ∼ による剰余マグマ (residue class magma)商マグマ (quotient magma)因子マグマ (factor magma) などと呼ぶ。

結合順序の組合せ論[編集]

一般の非結合的な場合のマグマ演算を繰り返し反復適用することを考え、演算を適用する対を表すのに括弧を用いる。演算を繰り返して得られた文字列は、マグマの元を表す記号と開閉の対応のとれた括弧からなるものとなる。対応のとれた括弧からなる可能な限りの文字列全体の成す集合はダイク言語英語版と呼ばれる。マグマ演算を n-回適用して得られる相異なる文字列の総数はカタラン数 Cn で与えられる。したがって例えば、C2 = 2 であることから、マグマの三つの元に二回演算を適用するときの組合せは

(ab)c または a(bc)

のふた通りしかないことがわかる。

表記の簡略化のためしばしば括弧の数を減らすことが行われる。これは演算を適用する場所でだけ文字を併置することで実現される。たとえば、マグマ演算を ∗ とすると、xyz が (xy)∗ z の簡略表示である。さらなる簡略化は空白の挿入・抜取によるもので、例えば、xyzwv によって ((xy) ∗ z) ∗ (wv) が表せる。もちろん、もっと複雑な式に対しては、括弧の使用は不可避のものとなる。括弧の使用を完全に避ける方法としては、演算を中置記法で記すのではなく、前置記法後置記法によればよい。

自由マグマ[編集]

集合 X 上の自由マグマ (free magma) とは集合 X から生成される「可能な限り最も一般」のマグマ(つまり、生成元の間では何の関係や公理も成立しないという意味で自由なマグマ)をいう。自由マグマの記述には計算機科学でよく用いられる概念の二分木を使うと便利である。すなわち、自由マグマは各葉 (leaf) が X の元でラベル付けられた二分木で、マグマ演算は木をルートで結合することによって与えられる。これは構文論において基本的な役割を演じる。

自由マグマのもつ「可能な限り最も一般」という性質(普遍性)は次のように表すことができる。

自由対象
集合 S から任意のマグマ M への写像 f: SM が与えられたとき、fS 上の自由マグマ FS から M へのマグマ準同型
\tilde{f}\colon F_S \to M
に一意的に拡張される。

すなわち、任意のマグマはある自由マグマのマグマ準同型像(同じことだが剰余マグマ)にマグマ同型である。

更なる定義[編集]

マグマ (S, ∗) が、[* 3]

  • 単位的 (unital) であるとは、それが単位元を持つときにいう。
  • 中可換 (medial) であるとは、恒等式 xyuz = xuyz を満たすときにいう。
  • 左半中可換 (left semimedial) であるとは、恒等式 xxyz = xyxz を満たすときにいう。
  • 右半中可換 (right semimedial) であるとは、恒等式 yzxx = yxzx が満たされるときにいう。
  • 半中可換 (semimedial) であるとは、左中可換かつ右中可換であるときにいう。
  • 左分配的 (left distributive) であるとは、恒等式 xyz = xyxz を満たすときにいう。
  • 右分配的 (right distributive) であるとは、恒等式 yzx = yxzx が満足されるときにいう。
  • 両側分配的 (autodistributive) であるとは、左分配的かつ右分配的であるときにいう。
  • 可換 (commutative) であるとは、xy = yx なる恒等式が成立するときにいう。
  • 冪等 (idempotent) であるとは、xx = x が恒等的に成り立つときに言う。
  • 単冪 (unipotent) であるとは、恒等的に xx = yy となるときにいう。
  • 零冪 (zeropotent) であるとは、恒等式 xxy = yyx = xx が成立するときにいう。
  • 交代的 (alternative) であるとは、xxy = x * xy かつ xyy = xyy なる恒等式がともに成立するときにいう。
  • 冪結合的 (power-associative) であるとは、その任意の元の生成する部分マグマが必ず結合的となるときにいう。
  • 左消約的 (left-cancellative) であるとは、等式 xy = xz から常に y = z が帰結できるときにいう。
  • 右消約的 (right-cancellative) であるとは、等式 yx = zx から y = z が常に帰結されるときにいう。
  • 消約的 (cancellative) であるとは、それが左消約的かつ右消約的となるときにいう。
  • 半群 (semigroup) または結合的 (associative) であるとは、xyz = xyz が恒等式であるときにいう。
  • 左零付き半群 (semigroup with left zeros) であるとは、x = xy を恒等的に満足する元 x が存在するときにいう。
  • 右零付き半群 (semigroup with right zeros) であるとは、x = yx が恒等的に成立するような元 x がとれるときにいう。
  • 零半群 (semigroup with zero multiplication, null semigroup) であるとは、恒等式 xy = uv を満たすときにいう。
  • left unar であるとは、恒等式 xy = xz が満足されるときにいう。
  • right unar であるとは、yx = zx なる恒等式が成立するときにいう。
  • trimedial であるとは、その任意の三元(必ずしも相異なる必要はない)が生成する部分マグマが中可換であるときにいう。
  • entropic であるとは、ある中可換消約マグマの準同型像となっているときにいう。

演算 ∗ が偏演算(局所演算、部分演算)ならば、(S, ∗) を局所マグマ(偏マグマ)という[* 4]

一般化[編集]

See 多項群英語版.

関連項目[編集]

注記[編集]

  1. ^ フランス語で "magma" は(複数の意味があるが)「ゴチャゴチャ」「支離滅裂」であるという意味である。フランスの数学者集団であるブルバキが「二項演算が定義されているだけの集合」にマグマと名づけて言及したのは、(群や環とは違い)そのような取り留めの無い広範な概念にどのような整理をつけて扱えばよいかわからないといったことが念頭にあってのことであろう。
  2. ^ 数の乗法およびの用語を流用したものではあるが、一般にはそれらの概念と直接的な関係は無い。
  3. ^ 各訳語はおおかた (田村 1972) に従った。
  4. ^ 写像ではなく、定義域と始域が一致しない部分写像 (partial function) となっているような演算を偏演算 (partial operation) という。"partial" には「部分」「偏」などの訳語が当てられることが多いが、これを「部分マグマ」とよぶと "submagma" と紛らわしい。(田村 1972) では「偏亜群」等

参考文献[編集]

外部リンク[編集]