微細構造 (原子物理学)

冷却重水素光源とファブリ・ペロー型干渉計によって観察される干渉縞。重水素の微細構造が観察される。

微細構造（びさいこうぞう、英：fine structure）とは原子物理学において、一次の相対論的補正による原子のスペクトル線の分裂を説明する。

線スペクトルの全体構造 (gross structure) は、スピンのない非相対論的な電子によって予言される。水素型原子では、総構造のエネルギー準位は主量子数$n$にのみ依存する。しかし相対論的効果やスピンの効果を考慮したより正確な模型では、エネルギー準位の縮退が解け、スペクトル線が分裂する。微細構造分裂の総構造分裂に対する相対的な大きさは、$\left(Z\alpha\right)^{2}$（$Z$は原子番号、$\alpha$は微細構造定数）のオーダーである。

微細構造は3つの補正項へとわけることができる。運動エネルギー補正項、スピン軌道相互作用項 (SO項)、ダーウィン項である。ハミルトニアンは以下で与えられる。

$H=H_{0}+H_{\rm kinetic}+H_{\rm SO}+H_{\rm Darwin}$

運動エネルギーの相対論的補正

古典力学的には、ハミルトニアンの運動エネルギーの項は

$T=\frac{p^{2}}{2m}$

である。しかし、特殊相対性理論を考えると相対論的運動エネルギーを用いる必要があり、

$T=\sqrt{p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}-mc^{2}$

となる。ここで第1項は全相対論的エネルギーを、第2項は電子の静止エネルギーを表す。この式を展開し、

$T=\frac{p^{2}}{2m}-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}+\dots$

を得る。したがって、ハミルトニアンの1次の補正項は

$H_{\rm kinetic}=-\frac{p^{4}}{8m^{3}c^{2}}$

である。これを摂動として用い、相対論的効果による1次のエネルギー補正量を求めることができる。

$E_{n}^{(1)}=\langle\psi^{0}\vert H'\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{4}\vert\psi^{0}\rangle=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

ここで $\psi^{0}$ は無摂動の波動関数である。無摂動のハミルトニアンをもう一度用いて、

$H^{0}\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$\left(\frac{p^{2}}{2m}+V\right)\vert\psi^{0}\rangle=E_{n}\vert\psi^{0}\rangle$

$p^{2}\vert\psi^{0}\rangle=2m(E_{n}-V)\vert\psi^{0}\rangle$

を得る。この結果をさらに相対論的補正の計算に用いて

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert p^{2}p^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{8m^{3}c^{2}}\langle\psi^{0}\vert (2m)^{2}(E_{n}-V)^{2}\vert\psi^{0}\rangle$

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\langle V^{2}\rangle )$

となる。水素原子について、$V=\frac{e^{2}}{r}$, $\langle V\rangle=\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}}$, $\langle V^{2}\rangle=\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}$（ただし$a_{0}$はボーア半径, $n$は主量子数、$l$は方位量子数）であるため、水素原子の相対論的補正は

$E_{n}^{(1)}=-\frac{1}{2mc^{2}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\frac{e^{2}}{a_{0}n^{2}} +\frac{e^{4}}{(l+1/2)n^{3}a_{0}^{2}}\right)=-\frac{E_{n}^{2}}{2mc^{2}}\left(\frac{4n}{l+1/2}-3\right)$

となる。

スピンと軌道の角運動量結合

標準的な基準系 (frame of reference) では、電子が原子核を中心に軌道運動していると捉える。スピン-軌道補正はこの基準系の代わりに電子は静止しており、原子核が電子を中心に軌道運動していると捉えた場合に起きる補正である。この場合、原子核の軌道運動は事実上の環状電流として働き、よって磁場を形成する。 しかし一方、電子それ自身もスピン角運動量による磁気モーメントを持っている。これら2つの磁気ベクトル、$\vec B$と$\vec\mu_s$が互いに相互作用を起こし、それらの相対的な向きに依存したあるエネルギーコストが生じる。このエネルギーコストが次式のエネルギー補正を引き起こす。

$\Delta E_{\rm SO} = \xi (r)\vec L \cdot \vec S.$

ダーウィン項

$H_{\rm Darwin}=\frac{\hbar^{2}}{8m_{e}^{2}c^{2}}4\pi\left(\frac{Ze^2}{4\pi \epsilon_{0}}\right)\delta^{3}\left(\vec r\right)$

ダーウィン項 (Darwin term, Darwinian Term) は原子核の有効ポテンシャルを変える。これは電子と原子核の静電相互作用が、電子のジグザグ運動（ツィッターベベーグング、zitterbewegung）や高速量子振動によって乱されていると解釈することができる。

関連項目

• スピン軌道相互作用
• 角運動量結合
• 超微細構造
• ラムシフト

参考文献

• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X. 
• Liboff, Richard L. (2002). Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5. 

外部リンク

• Hyperphysics: Fine Structure
• University of Texas: The fine structure of hydrogen