井戸型ポテンシャル

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井戸型ポテンシャル(いどがたポテンシャル)とは、量子力学の初歩で扱う例題である。例題としては極めて平易であるが、得られる結果は量子力学の特性をよく反映しているので、多くの教科書・演習書に取り上げられている。

様々なバリエーションがあるが、全てに共通する設定としては、ある有界領域Dを定め、ポテンシャルV

V(\boldsymbol{x})=\begin{cases}V_0&(\boldsymbol{x}\in D)\\V'(\boldsymbol{x})&(\boldsymbol{x}\not\in D)\end{cases}

とする (V0<V(x)) 。領域D内が「井戸の中」として捉えられる。このポテンシャルの中に一個の粒子(電子とされる場合が多い)を閉じこめた時の固有状態・エネルギー固有値を求める例題は数多い。

一次元[編集]

井戸型ポテンシャルの本質は一次元の場合でほぼ説明が可能であるので、この場合を重点的に説明する。一次元の場合は、D=[-L,L]と設定する流儀とD=[0,L]と設定する流儀があるが(どちらも本質的には差がない)、ここでは簡単のため後者を採用する。

無限の深さ[編集]

まず、厳密に解くことができる、ポテンシャルが無限に深い場合を扱う。即ち、V(x)=∞である。また、ポテンシャルには定数分の不定性があるため、V0=0とおく。この時に問題を整理すると、

V(x)=\begin{cases}0&(x\in[0,L])\\\infty&(x\not\in[0,L])\end{cases}

となる。

ポテンシャルは「井戸の中」では0であり、外では無限大である

より具体的に、「剛体壁に一個の粒子が閉じこめられた」という設定となることもある。また、ポテンシャルは無限大ではないのでかなり粗い近似ではあるが、ポリアセチレン共役π系中を動く電子の様相をこの無限の深さの一次元井戸型ポテンシャルで近似することもある。

解法[編集]

この時、領域外ではポテンシャルが無限大となるため、粒子の存在確率も0となると考える。従って、境界条件としてψ(0)=ψ(L)=0を課す。この下で、領域D内において、時間に依存しないシュレーディンガー方程式

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x)

m \ :粒子の質量\psi_n \ 波動関数E_n \ エネルギー固有値)を解くと、解は

\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin k_n x=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{n \pi x}{L}
E_n=\frac{\hbar^2{k_n}^2}{2m}=\frac{\hbar^2 n^2 {\pi}^2}{2mL^2}
k_n=\frac{n\pi}{L}(n\in\boldsymbol{N})

(波動関数は規格化を行った)となる。

解釈[編集]

結果から明らかなように、エネルギーは連続的な値を取ることができず、離散化されている。これは量子力学から導かれる帰結の非常に大きな特徴である。

また、領域が狭くなるほどエネルギーが高くなることも大きな特徴である。これは、不確定性原理により、粒子の可動域が狭くなるにつれて運動量標準偏差が大きくなるためと解釈されている。

波動関数の「節」の数が増加することによってもまたエネルギーは増加する。これは量子化学において分子軌道(特に前述のようなポリアセチレンの共役π系)を考察する際に参考にされる。

有限の深さ(半無限領域の場合)[編集]

無限の深さの議論を踏まえて、有限の深さに対して議論をする。この際、簡単のために領域の片側を無限のままにしておき、もう片側を有限定数の深さにする。これを定式化すると、

V(x)=\begin{cases}\infty&(x<0)\\0&(0<x<L)\\V_1&(L<x)\end{cases}

(V1>0) となる。

解法[編集]

本質的なE<V1の場合のみを考慮する。この時、正の方向については無限遠で波動関数が0となれば十分であるので、境界条件が変わりψ(0)=ψ(∞)=0となる。0<x<Lの時の波動関数をψinL<xの時の波動関数をψoutと分割してシュレーディンガー方程式を解くと、さらに接続条件ψin(L)=ψout(L), ψ'in(L)=ψ'out(L) が加わる。

解くと、

\psi_{\textrm{in}}(x)=A\sin kx
\psi_{\textrm{out}}(x)=B\exp(-\lambda x)
E=\frac{\hbar^2{k}^2}{2m}
A\sin kL=B\exp(-\lambda L)
\begin{cases}\lambda&=-k\cot kL\\k^2+\lambda^2&=\frac{2mV_1}{\hbar^2}\end{cases}

となる。

解釈[編集]

結果はほとんど無限の深さのときと同等である(V1→∞とした時の極限が無限の場合であるからこの結果は当然である)。

ここで特に注意すべきは、L<xの条件の下ではE<Vである(つまり古典的には運動エネルギーが負となり、粒子は存在できない)にもかかわらず、波動関数が0ではない、つまり粒子が存在する可能性があるということである。このような現象が量子力学では一般に生じるが、これは波動関数の浸み出しとよばれ、トンネル効果の根拠となっている。

有限の深さ(一般の場合)[編集]

この章では、解の偶奇性を考慮し、 
-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}
の領域を考える。

ポテンシャルV(x)が、

V(x)=
\begin{cases}
 V_0 & (x < -\frac{L}{2}) \\
 0 & (-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}) \\
 V_0 & x > (\frac{L}{2})
 \end{cases}
     (1)

のときの粒子の運動を調べる。

解法[編集]

解法は前者と同じであるが、ここではより詳細に解法を記述する。

定常状態シュレディンガー方程式


\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x)\right)\psi(x)=E\psi(x)
     (2)

を解いて説明する。(V0>0)

しかし、Eの値によって粒子の振る舞いは変化する。そのため、解く際に、

  1. E<0
  2. 0<E<V0束縛状態
  3. V0<E散乱状態

の3通りに場合分けをして解く。

(定常状態では、物理的な意味を持ち、かつ式(2)を満たす波動関数ψ(x)はE>0の範囲にしか存在しない。 よって、ここでは1の場合は考えないものとする。)

束縛状態[編集]

解くべき方程式は、ポテンシャルの値ごとに領域を分けて、

V(x)=
\begin{cases}
\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-k^2\psi(x) & (-\frac{L}{2}<x< \frac{L}{2})\\
\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=k'^2\psi(x) & (x<-\frac{L}{2},\frac{L}{2}<x)
\end{cases}
     (3)

である。( 
k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}
, 
k'^2=\frac{2m\left(V_0-E\right)}{\hbar^2}
とおいた。)

解法[編集]

式(3)を解くと、

\psi(x)=
\begin{cases}
 C_1 e^{k'x}+D_1 e^{-k'x} & (x < -\frac{L}{2}) \\
 A\cos(kx)+B\sin(kx) & (-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}) \\
 C_2 e^{k'x}+D_2 e^{-k'x}  & (x > \frac{L}{2})
 \end{cases}     (4)

となる。 (A,B,C1,D1,C2,D2は任意の定数)

これに、無限遠方で波の存在確率が0となる条件


\lim_{x\rightarrow \pm \infty} \psi(x)=0\,
     (5)

を適用すると、 D1=C2=0 となる。

さらに、各境界で波動関数が連続かつ微分可能である条件


\lim_{x\rightarrow \pm \frac{L}{2}-0} \psi(x)=\lim_{x\rightarrow \pm \frac{L}{2}+0} \psi(x)\,
     (6)


\lim_{x\rightarrow \pm \frac{L}{2}-0} \psi'(x)=\lim_{x\rightarrow \pm \frac{L}{2}+0} \psi'(x)\,
     (7)

を適用すると、解は


\tan(\frac{kL}{2})=\frac{k'}{k}
のとき、

\psi(x)=
\begin{cases}
 C_1 e^{k'x} & (x < -\frac{L}{2}) \\
 A\cos(kx) & (-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}) \\
 C_1 e^{-k'x}  & (x > \frac{L}{2})
 \end{cases}
     (8)


\tan(\frac{kL}{2})=-\frac{k}{k'}
のとき、

\psi(x)=
\begin{cases}
 C_1 e^{k'x} & (x < -\frac{L}{2}) \\
 B\sin(kx) & (-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}) \\
 -C_1 e^{-k'x}  & (x > \frac{L}{2})
 \end{cases}
     (9)

となる。式(8)は偶関数で、式(9)は奇関数になっている。

解釈[編集]

解の数は、
y=\tan(\frac{kL}{2})
と、 
y=\frac{k'}{k},y=-\frac{k}{k'}
のグラフの交点の数である。

このことから、解の数は、ポテンシャルの2乗根と井戸の幅の積が


\frac{\left(n-1\right)\hbar^2\pi}{\sqrt{2m}} < \sqrt{V_0}L < \frac{n\hbar^2\pi}{\sqrt{2m}}
     (10)

の範囲にあるとき、n個の解を持つ(n=1,2,3,…)ということが分かる。

解の個数と同じ数だけ取り得るkの値が存在し、そのkの値によってエネルギー固有値Eの値が決まる。 

Eがいちばん小さい状態を基底状態という。このときの波動関数は偶関数である。その次にEが小さい状態での波動関数は、奇関数である。以降、解はEが小さいものから順に偶、奇、偶、奇、…と繰り返している。

散乱状態[編集]

解くべき方程式は、ポテンシャルの値ごとに領域を分けて、

V(x)=
\begin{cases}
\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-k^2\psi(x) & (-\frac{L}{2}<x< \frac{L}{2})\\
\frac{d^2}{dx^2}\psi(x)=-k'^2\psi(x) & (x<-\frac{L}{2},\frac{L}{2}<x)
\end{cases}
     (11)

である。( 
k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}
, 
k'^2=\frac{2m\left(E-V_0\right)}{\hbar^2}
とおいた。)

解法[編集]

式(11)を解くと、

\psi(x)=
\begin{cases}
 C_1 e^{ik'x}+D_1 e^{-ik'x} & (x < -\frac{L}{2}) \\
 Ae^{ik'x}+Be^{-ik'x} & (-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}) \\
 C_2 e^{ik'x}+D_2 e^{-ik'x}  & (x > \frac{L}{2})
 \end{cases}     (12)

となる。(A,B,C1,D1,C2,D2は任意の定数)

いま、x<-\frac{L}{2}の領域からx軸の正の向きに進む波(入射波)を考える。 これは、式(11)の第一式の第一項にあたるが、振幅は任意なので、C1=1とする。 また、x>\frac{L}{2}で負の向きに進む波はないとすると、D2=0となる。 D1=r ,C2=tとおいて整理すると、

\psi(x)=
\begin{cases}
 e^{ik'x}+re^{-ik'x} & (x < -\frac{L}{2}) \\
 Ae^{ik'x}+Be^{-ik'x} & (-\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2}) \\
 te^{ik'x}  & (x > \frac{L}{2})
 \end{cases}  (13)

となる。 境界での連続性と微分可能性の条件である式(6)と式(7)から求まる4つの式を、A,B,t,rについて解くと、


A=\frac{t\left(k+k'\right)}{2k}e^{n-m}
     (14)


B=\frac{t\left(k-k'\right)}{2k}e^{n+m}
     (15)


t=\frac{4kk'}{\left(k'+k\right)^2e^{2\left(n-m\right)}-\left(k'-k\right)^2e^{2\left(n+m\right)}}
     (16)


r=\frac{\left(k'^2-k^2\right)\left(e^{-2m}-e^{2m}\right)}{\left(k'+k\right)^2e^{2\left(n-m\right)}-\left(k'-k\right)^2e^{2\left(n+m\right)}}
     (17)

が求まる。( 
m=i\frac{kL}{2} , n=i\frac{k'L}{2}
とおいた。) 式(14)、式(15)に式(16)を代入し、それらの値と式(16)、式(17)を式(13)に代入したものが、散乱状態での解である。

解釈(透過率と反射率)[編集]

このときの


|t|^2=\frac{16k'^2k^2}{2\left(k'^4+6k'^2k^2+k^4\right)-\left(k'^2-k^2\right)^2\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)}
  (18)

透過率と呼び、


|r|^2=\frac{\left(k'^2-k^2\right)\left(2-\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)\right)}{2\left(k'^4+6k'^2k^2+k^4\right)-\left(k'^2-k^2\right)^2\left(e^{4m}+e^{-4m}\right)}
  (19)

反射率と呼ぶ。

透過率と反射率の間には、和が1になるという性質がある。 つまり、粒子は必ずポテンシャルの壁を透過するか、壁で反射するのであり、急に消えたりなどその二通り以外の振舞い方はしないということである。

粒子が完全に反射・透過する時の条件[編集]

透過率が0(粒子が完全に反射)となる条件は、k'=0またはk=0、すなわちE=V0のときである。 また、反射率が0(粒子が完全に透過)となる条件は、k'2-k2=0または2-(e4m+e-4m )=0、すなわちV0=0か、kL=nπのときである。 kL=nπのとき、粒子はポテンシャルの壁で反射せず、完全に透過する。これを共鳴散乱という。

多次元[編集]

多次元の場合はシュレーディンガー方程式が偏微分方程式となるので、変数分離法等で適当に一次元の場合と同等の常微分方程式に帰着させて解くケースが多い。

多次元の場合もエネルギーの離散化や波動関数の浸み出し等、量子論特有の帰結が得られる。

多次元に特徴的な結果は、一次元では見られない縮退が生じる可能性があることである。

関連項目[編集]