二乗平均平方根

二乗平均平方根（にじょうへいきんへいほうこん）は統計値や確率変数の散らばり具合を表す数値である。RMS (Root Mean Square) や平均二乗偏差とも呼ばれる。もととなる値は正負の両方を取ってよく、変化する値の強度を統計的に表す目的で物理学や電気工学でよく用いられる。

名前が表すとおり、もとの値を2乗した上で相加平均し平方根をとったものである。一般化平均において指数パラメータを2としたものであるとも言える。

標準偏差と同じものであると誤解される事が多い。

定義

$N$ 個の数 $\{x_1,x_2,\dots,x_N\}$ について二乗平均平方根は

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over N} \sum_{i=1}^{N} x_i^2} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_N^2} \over N}$

と定義される。

連続関数 $f(t)$ の区間 $T_1 \le t \le T_2$ については

$f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}}$

と定義される。

周期関数については通常、区間を一周期に一致させて求める。

平均値および標準偏差との関係

$\bar{x}$ を 相加平均とし、 $\sigma_{x}$ を 標準偏差 としたとき

$x_{\mathrm{rms}}^2 = \bar{x}^2 + \sigma_{x}^2$

である。つまり二乗平均平方根は常に平均値以上である。

また平均値が 0 である場合には二乗平均平方根は標準偏差と一致する。このため誤って「二乗平均平方根とは標準偏差の別名である」とされる事が多い。 例えば実験データなどの誤差を評価する際には、（理論値など）真の値と個々の実験値との差全体から二乗平均平方根を求めたものは「真の値からの誤差」を表すのに対し、実験値全体の標準偏差は「平均値からのばらつき」を表すため、実験値の平均と真の値とが一致するとみなせない限り両者は別物である。

関連項目

• 標準偏差
• 最小二乗法
• 一般化平均
• RMS粒状度
• RMS速度
• 実効値
• 二乗平均速度