球面調和関数

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低次の球面調和関数。赤色は正、緑色は負の領域を示す。
球面調和関数の球表示(左)と原子軌道表示(右)。 (gifアニメーションへのリンク)

球面調和関数(きゅうめんちょうわかんすう、: spherical harmonics[1])は、3次元ラプラス方程式の解を球座標で書いたときの角度部分の関数である。

定義[編集]

球面調和関数 Ylm (θ, φ) は、次の式で表される関数である。


  Y_{l}^{m}(\theta, \phi)
      =  (-1)^{(m+|m|)/2} 
         \sqrt{ \frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!} \,}
         P_l^{|m|}(\cos\theta) \, e^{im\phi}

ここで、l は非負の整数m は -lml の整数である。Plmルジャンドル陪関数である。

関連する微分方程式[編集]

3次元のラプラス方程式の、球座標 (r, θ, φ) による表式


\nabla^2 u
\equiv \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}
  \left( r^2 \frac{\partial u}{\partial r} \right)
    + \frac{1}{r^2} \left\{
        \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta}
        \left( \sin\theta \frac{\partial u}{\partial\theta} \right)
          + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2 u}{\partial\phi^2}
      \right\} =0

に対し、u (r, θ, φ) = R (r )Y (θ, φ) と変数分離してその分離定数を λ とおくと、微分方程式


  \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial\theta} 
  \left( \sin\theta \frac{\partial Y}{\partial \theta} \right)
    + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2Y}{\partial\phi^2}
    + \lambda Y  =  0

が得られる。λ = l (l + 1) のときのこの方程式の解が、球面調和関数である。

完全性[編集]

球面調和関数は完全直交関数系であり、球面上の任意の関数g (θ, φ) を展開できる[2]

  g(\theta,\phi) = \sum_{l=0}^\infin \sum_{m=-l}^l A_{lm}Y_{l}^{m}(\theta, \phi)

ここでA lm は複素定数であり、次式で表される。

A_{lm} = \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi \sin\theta d\theta\ Y_{l}^{m}(\theta, \phi)^* g(\theta,\phi)

具体例[編集]

いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。

 Y_{0}^{0} = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}
 Y_{1}^{0} = \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta
 Y_{1}^{\pm1} = \mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin\theta \,e^{\pm i\phi}
 Y_{2}^{0} = \sqrt{\frac{5}{16\pi}} (3\cos^2\theta-1)
 Y_{2}^{\pm1} = \mp\sqrt{\frac{15}{8\pi}} \sin\theta\cos\theta \,e^{\pm i\phi}
 Y_{2}^{\pm2} = \sqrt{\frac{15}{32\pi}} \sin^2\theta \,e^{\pm2i\phi}

量子力学での応用[編集]

量子力学で、球対称ポテンシャル V (r )に対する1粒子シュレーディンガー方程式 (代表的なものは水素原子におけるシュレーディンガー方程式

 \left\{ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(r) \right\} \psi(\boldsymbol{r}) = \epsilon \psi(\boldsymbol{r})

を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では、 Ylml方位量子数m磁気量子数という。

球面調和関数は軌道角運動量 l と密接な関係がある。球面調和関数は l2lz の同時固有関数になっており、その固有値はそれぞれ \hbar^2 l(l+1)m\hbar である。すなわち

 \boldsymbol{l}^2 Y_l^m = \hbar^2 l(l+1) Y_l^m
 l_z Y_l^m = m\hbar Y_l^m

となる。また、上昇下降演算子 l+l-を球面調和関数に作用させると

 l_+ Y_l^m = \hbar\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, Y_l^{m+1}
 l_- Y_l^m = \hbar\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, Y_l^{m-1}
 l_+ Y_l^l = 0, \quad l_- Y_l^{-l} = 0

となる。

脚注[編集]

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  1. ^ 文部省日本物理学会編 『学術用語集 物理学編』 培風館1990年ISBN 4-563-02195-4
  2. ^ Earl G. Williams; 吉川茂、西條献児訳 『フーリエ音響学』 シュプリンガーフェアラーク東京、2005年、231頁。ISBN 4-431-71174-0 

参考文献[編集]

関連項目[編集]