ラゲールの陪多項式

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ラゲールの陪多項式(ラゲールのばいたこうしき、associated Laguerre polynomials)とは、常微分方程式

\left( x\frac{d^{k+2}}{dx^{k+2}}+(k+1-x)\frac{d^{k+1}}{dx^{k+1}}+n \dfrac{d^k}{dx^k}\right) L^k_n(x)=0

を満たす多項式 L^k_n(x) のことを言う。ただし k0\le k \le n を満たす整数である。

k=0 のときの微分方程式はラゲールの微分方程式と呼ばれ、その解 L_n(x)ラゲールの多項式という。 ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。

L^k_n(x)=\dfrac{d^k}{dx^k}L_n(x)

またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。


\begin{array}{lcl}
L^k_n(x)&=&\dfrac{d^k}{dx^k}\left( e^x \dfrac{d^n}{dx^n}\left(x^n e^{-x}\right)\right) \\
&=&\displaystyle{\sum_{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}\dfrac{(n!)^2}{m!(m+k)!(n-m-k)!}x^m}
\end{array}

母関数

G(t,x)=\dfrac{(-1)^k}{(1-t)^{k+1}}\exp \left({-\dfrac{xt}{1-t}}\right)
=\sum_{n=0} ^\infty L^k_n(x) \dfrac{t^{n-k}}{n!}

である。

量子力学において、球対称ポテンシャルシュレディンガー方程式(代表的なものは水素原子におけるシュレーディンガー方程式)の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される。

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